Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 4414
2017-10-21 
На горизонтальной плоскости стоит гладкий клин массы $M$ с углом $\alpha$ при основании. На клин положили брусок массы $m$, к которому прикреплена легкая нерастяжимая нить, проходящая через зажим, закрепленный на клине. С каким ускорением может двигаться клин после того, как брусок отпустят без начальной скорости, если максимальная сила трения нити о зажим равна $F$?
Решение:
Поскольку клин по условию задачи является гладким, сила $R$ реакции плоскости, действующая на него, направлена вертикально, а сила $N$ реакции клина на брусок направлена по нормали к плоскости касания бруска и, клина, т.е. так, как показано на рисунке. На этом же рисунке показаны силы тяжести $mg$ и $Mg$, действующие на брусок и клин, а так же сила натяжения нити $T$, действующая на брусок, и сила $T^{ \prime}$, с которой нить действует на клин. Если, как обычно, нить считать невесомой, то на основании второго и третьего законов Ньютона следует утверждать, что $T = - T^{ \prime}$ и отрезок нити между бруском и зажимом является прямолинейным. В соответствии с рисунком в условии задачи будем считать этот отрезок параллельным поверхности клина.
Тогда, пренебрегая, как обычно, действием воздуха и считая лабораторную систему отсчета X0Y инерциальной, уравнения движения клина и бруска в проекциях на оси этой системы отсчета можно представить в виде:
$MA_{x} = N \sin \alpha - T \cos \alpha$,
$MA_{y}Т = -N \cos \alpha - Mg - T \sin \alpha + R$,
$ma_{x} = T \cos \alpha - N \sin \alpha$,
$ma_{y} = T \sin \alpha + N \cos \alpha - mg$,
где $A_{x}$ и $A_{y}$ - проекции ускорения $A$ клина на оси ОХ и 0Y, $a_{x}$ и $a_{y}$ - проекции ускорения а бруска на указанные оси.
Если ускорение бруска равно нулю, то из двух последних уравнений следует, что $T = mg \sin \alpha$. Следовательно, если $F \geq T = mg \sin \alpha$, то и брусок и клин должны оставаться неподвижными, т.е. при $F \geq mg \sin \alpha$ ускорение клина $A = 0$.
Если же $F < mg \sin \alpha$, то сила натяжения нити $T$ при сделанных выше предположениях будет равна $F$ — максимальной величине силы трения нити о зажим, и брусок должен скользить по клину, а клин, в свою очередь, так же должен двигаться с некоторым ускорением. Поскольку клин может двигаться только горизонтально, то $A_{y} =0$. Ясно, что отличные от нуля компоненты ускорений клина и бруска не могут быть независимыми, т.к. брусок по условию может двигаться лишь по поверхности клина. В системе координат $X_{1}O_{1}Y_{1}$, неподвижной относительно клина, оси которой параллельны осям лабораторной системы отсчета X0Y, приращения координат $\Delta x_{1}$ и $\Delta y_{1}$ некоторой точки бруска должны удовлетворять условию: $\Delta y_{1} = \Delta x_{1} tg \alpha$. Учитывая, что начала отсчета осей $OY$ и $O_{1}Y_{1}$ показанных на рисунке систем координат не смещаются по вертикали друг относительно друга при возможных перемещениях клина, можно утверждать, что $\Delta y_{1} = \Delta y$. Вместе с тем, если клин испытывает перемещение $\Delta X$, а брусок относительно клина смещается на $\Delta x_{1}$; координаты точек бруска относительно оси ОХ изменяются на $\Delta x = \Delta x_{1} + \Delta X$. Таким образом, приращения координат клина и бруска относительно осей лабораторной системы отсчета связаны между собой соотношением $( \Delta x - \Delta X) tg \alpha = \Delta y$. Учитывая, что полученное соотношение справедливо для любых моментов времени, когда брусок находится на клине, и вспоминая определение скорости и ускорения в данном направлении, на основании последнего соотношения можно утверждать, что составляющие ускорений бруска и клина, входящие в уравнения движения этих тел, связаны между собой соотношением: $a_{y} = (a_{x} - A_{x}) tg \alpha$. Из этого выражения и уравнения движения бруска следует, что $m A_{x} \sin \alpha = mg \cos \alpha - N$. Умножая обе части полученного соотношения на $\sin \alpha$ и складывая результат с первым уравнением движения клина, получим, что ускорение клина при $F < mg \sin \alpha$
$A_{x} = \frac{mg \sin \alpha - F}{m \sin^{2} \alpha + M} \cos \alpha$.
Таким образом:
$A_{x} = \begin{cases} 0, & \text{при} F \geq mg \sin \alpha \\ \frac{mg \sin \alpha - F}{m \sin^{2} \alpha + M} \cos \alpha, & \text{при} F < mg \sin \alpha \end{cases}$
На горизонтальной плоскости стоит гладкий клин массы $M$ с углом $\alpha$ при основании. На клин положили брусок массы $m$, к которому прикреплена легкая нерастяжимая нить, проходящая через зажим, закрепленный на клине. С каким ускорением может двигаться клин после того, как брусок отпустят без начальной скорости, если максимальная сила трения нити о зажим равна $F$?
Решение:
Поскольку клин по условию задачи является гладким, сила $R$ реакции плоскости, действующая на него, направлена вертикально, а сила $N$ реакции клина на брусок направлена по нормали к плоскости касания бруска и, клина, т.е. так, как показано на рисунке. На этом же рисунке показаны силы тяжести $mg$ и $Mg$, действующие на брусок и клин, а так же сила натяжения нити $T$, действующая на брусок, и сила $T^{ \prime}$, с которой нить действует на клин. Если, как обычно, нить считать невесомой, то на основании второго и третьего законов Ньютона следует утверждать, что $T = - T^{ \prime}$ и отрезок нити между бруском и зажимом является прямолинейным. В соответствии с рисунком в условии задачи будем считать этот отрезок параллельным поверхности клина.
Тогда, пренебрегая, как обычно, действием воздуха и считая лабораторную систему отсчета X0Y инерциальной, уравнения движения клина и бруска в проекциях на оси этой системы отсчета можно представить в виде:
$MA_{x} = N \sin \alpha - T \cos \alpha$,
$MA_{y}Т = -N \cos \alpha - Mg - T \sin \alpha + R$,
$ma_{x} = T \cos \alpha - N \sin \alpha$,
$ma_{y} = T \sin \alpha + N \cos \alpha - mg$,
где $A_{x}$ и $A_{y}$ - проекции ускорения $A$ клина на оси ОХ и 0Y, $a_{x}$ и $a_{y}$ - проекции ускорения а бруска на указанные оси.
Если ускорение бруска равно нулю, то из двух последних уравнений следует, что $T = mg \sin \alpha$. Следовательно, если $F \geq T = mg \sin \alpha$, то и брусок и клин должны оставаться неподвижными, т.е. при $F \geq mg \sin \alpha$ ускорение клина $A = 0$.
Если же $F < mg \sin \alpha$, то сила натяжения нити $T$ при сделанных выше предположениях будет равна $F$ — максимальной величине силы трения нити о зажим, и брусок должен скользить по клину, а клин, в свою очередь, так же должен двигаться с некоторым ускорением. Поскольку клин может двигаться только горизонтально, то $A_{y} =0$. Ясно, что отличные от нуля компоненты ускорений клина и бруска не могут быть независимыми, т.к. брусок по условию может двигаться лишь по поверхности клина. В системе координат $X_{1}O_{1}Y_{1}$, неподвижной относительно клина, оси которой параллельны осям лабораторной системы отсчета X0Y, приращения координат $\Delta x_{1}$ и $\Delta y_{1}$ некоторой точки бруска должны удовлетворять условию: $\Delta y_{1} = \Delta x_{1} tg \alpha$. Учитывая, что начала отсчета осей $OY$ и $O_{1}Y_{1}$ показанных на рисунке систем координат не смещаются по вертикали друг относительно друга при возможных перемещениях клина, можно утверждать, что $\Delta y_{1} = \Delta y$. Вместе с тем, если клин испытывает перемещение $\Delta X$, а брусок относительно клина смещается на $\Delta x_{1}$; координаты точек бруска относительно оси ОХ изменяются на $\Delta x = \Delta x_{1} + \Delta X$. Таким образом, приращения координат клина и бруска относительно осей лабораторной системы отсчета связаны между собой соотношением $( \Delta x - \Delta X) tg \alpha = \Delta y$. Учитывая, что полученное соотношение справедливо для любых моментов времени, когда брусок находится на клине, и вспоминая определение скорости и ускорения в данном направлении, на основании последнего соотношения можно утверждать, что составляющие ускорений бруска и клина, входящие в уравнения движения этих тел, связаны между собой соотношением: $a_{y} = (a_{x} - A_{x}) tg \alpha$. Из этого выражения и уравнения движения бруска следует, что $m A_{x} \sin \alpha = mg \cos \alpha - N$. Умножая обе части полученного соотношения на $\sin \alpha$ и складывая результат с первым уравнением движения клина, получим, что ускорение клина при $F < mg \sin \alpha$
$A_{x} = \frac{mg \sin \alpha - F}{m \sin^{2} \alpha + M} \cos \alpha$.
Таким образом:
$A_{x} = \begin{cases} 0, & \text{при} F \geq mg \sin \alpha \\ \frac{mg \sin \alpha - F}{m \sin^{2} \alpha + M} \cos \alpha, & \text{при} F < mg \sin \alpha \end{cases}$
