Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 4412
2017-10-21 
У мальчика, сидящего на расстоянии $R$ от оси на вращающейся с угловой скоростью $\omega$ карусели, выпадает из кармана с интервалом $\tau$ два камушка. На каком расстоянии друг от друга ударятся о землю эти камушки, если высота, с которой они упали, равна $h$?
Решение:
Поскольку камушки выпадают из кармана, а не выбрасываются из него, можно считать, что начальные скорости камушков относительно земли равны скоростям тех точек карусели, в которых находился мальчик в моменты выпадения камушков. Другими словами, начальные скорости камушков направлены горизонтально и равны по модулю $v = \omega R$. Если, как обычно, пренебречь влиянием воздуха на камушки, то после выпадения камушки будут совершать свободное падение, т.е. двигаться относительно поверхности земли в горизонтальном направлении со скоростью $v$ вплоть до момента падения на землю. По вертикали камушки до падения должны переместиться на расстояние $h$, двигаясь с ускорением свободного падения $g$. Поэтому за время падения $t_{п} = \sqrt{2h/g}$ камушки по горизонтали пролетят расстояние $L = vt_{п}$. На рисунке пунктирными линиями показаны проекции траекторий камушков на горизонтальную плоскость, а сплошными жирными линиями - оси лабораторной системы координат, которую будем использовать для решения задачи. Точки 1 и 2 соответствуют положениям камушков в момент их выпадения. Из рисунка и сказанного ранее следует, что первый камушек упадет на землю в точке с координатами $x_{1} = L , y_{1} = R$. Поскольку за время $\tau$ карусель, вращающаяся с постоянной угловой скоростью $\omega$, повернется на угол $\alpha = \omega \tau$, то координаты точки падения второго камушка равны $x_{2} =R \sin \alpha + L \cos \alpha, y_{2} = R \cos \alpha - L \sin \alpha$. Учитывая, что искомое расстояние между точками падения камушков на землю $\Delta L = \sqrt{ (x_{2}^{2} - x_{1}^{2}) + (y_{1} - y_{1})^{2}}$, после преобразований получим
$\Delta L = \sqrt{2 (1 - \cos \alpha)(R^{2} + L^{2})} = 2R | \sin \omega \tau /2 | \sqrt{1 + 2h \omega^{2} /g}$.
У мальчика, сидящего на расстоянии $R$ от оси на вращающейся с угловой скоростью $\omega$ карусели, выпадает из кармана с интервалом $\tau$ два камушка. На каком расстоянии друг от друга ударятся о землю эти камушки, если высота, с которой они упали, равна $h$?
Решение:
Поскольку камушки выпадают из кармана, а не выбрасываются из него, можно считать, что начальные скорости камушков относительно земли равны скоростям тех точек карусели, в которых находился мальчик в моменты выпадения камушков. Другими словами, начальные скорости камушков направлены горизонтально и равны по модулю $v = \omega R$. Если, как обычно, пренебречь влиянием воздуха на камушки, то после выпадения камушки будут совершать свободное падение, т.е. двигаться относительно поверхности земли в горизонтальном направлении со скоростью $v$ вплоть до момента падения на землю. По вертикали камушки до падения должны переместиться на расстояние $h$, двигаясь с ускорением свободного падения $g$. Поэтому за время падения $t_{п} = \sqrt{2h/g}$ камушки по горизонтали пролетят расстояние $L = vt_{п}$. На рисунке пунктирными линиями показаны проекции траекторий камушков на горизонтальную плоскость, а сплошными жирными линиями - оси лабораторной системы координат, которую будем использовать для решения задачи. Точки 1 и 2 соответствуют положениям камушков в момент их выпадения. Из рисунка и сказанного ранее следует, что первый камушек упадет на землю в точке с координатами $x_{1} = L , y_{1} = R$. Поскольку за время $\tau$ карусель, вращающаяся с постоянной угловой скоростью $\omega$, повернется на угол $\alpha = \omega \tau$, то координаты точки падения второго камушка равны $x_{2} =R \sin \alpha + L \cos \alpha, y_{2} = R \cos \alpha - L \sin \alpha$. Учитывая, что искомое расстояние между точками падения камушков на землю $\Delta L = \sqrt{ (x_{2}^{2} - x_{1}^{2}) + (y_{1} - y_{1})^{2}}$, после преобразований получим
$\Delta L = \sqrt{2 (1 - \cos \alpha)(R^{2} + L^{2})} = 2R | \sin \omega \tau /2 | \sqrt{1 + 2h \omega^{2} /g}$.
