Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 4411
2017-10-21 
Стержень, поперечное сечение которого показано на рисунке, катится по плоскости без проскальзывания. Найти отношение скоростей точек А к В. находящихся от оси стержня на расстоянии в $n$ раз меньшем его радиуса, в тот момент, когда они занимают положения, указанные на рисунке.
Решение:
По условию задачи стержень, поперечное сечение которого показано на рисунке, катится по плоскости без проскальзывания. Следовательно, скорости всех точек стержня лежат в плоскостях, перпендикулярных оси стержня, т.е. стержень совершает плоское движение. Считая, как это обычно и делается в подобных задачах, стержень твердым, его движение можно представить как сумму поступательного движения со скоростью v и вращения вокруг собственной оси с угловой скоростью $\omega$. Поскольку стержень катится без проскальзывания, то скорости точек стержня, касающихся плоскости (в том числе и точки К) должны бы ть равны нулю, т.е. $\vec{v} + \vec{v}_{врK} = 0$. Отсюда следует, что направление вращения стержня должно быть таким, как показано на рисунке, и $\omega = v_{врK} /R = v/R$, где $R$ - радиус стержня. Учитывая, что точки А и В находятся от оси стержня на расстоянии $R/n$, модуль составляющей их скорости, обусловленной вращением стержня, $v_{врA} = v_{врB} = v/n$. Составляющие же скорости этих точек, обусловленные поступательным движением, равны $v$. В интересующий нас момент точка А лежит на диаметре, параллельном плоскости качения, а точка В - на диаметре, перпендикулярном к этой плоскости. Поэтому указанные составляющие скорости точки А взаимно перпендикулярны, а точки В - параллельны и одинаково направлены (см. рис.). Из сказанного следует, что
$| \vec{v}_{A}| = | \vec{v} + \vec{v}_{врA} | = v \sqrt{1+ n^{-2}}, | \vec{v}_{B}| = | \vec{v} + \vec{v}_{врB} | = (1 + n^{-1})v$.
Из этих выражений находим, что искомое отношение скоростей
$v_{A}/v_{B} = \sqrt{n^{2} + 1}/(n+ 1)$.
Стержень, поперечное сечение которого показано на рисунке, катится по плоскости без проскальзывания. Найти отношение скоростей точек А к В. находящихся от оси стержня на расстоянии в $n$ раз меньшем его радиуса, в тот момент, когда они занимают положения, указанные на рисунке.
Решение:
По условию задачи стержень, поперечное сечение которого показано на рисунке, катится по плоскости без проскальзывания. Следовательно, скорости всех точек стержня лежат в плоскостях, перпендикулярных оси стержня, т.е. стержень совершает плоское движение. Считая, как это обычно и делается в подобных задачах, стержень твердым, его движение можно представить как сумму поступательного движения со скоростью v и вращения вокруг собственной оси с угловой скоростью $\omega$. Поскольку стержень катится без проскальзывания, то скорости точек стержня, касающихся плоскости (в том числе и точки К) должны бы ть равны нулю, т.е. $\vec{v} + \vec{v}_{врK} = 0$. Отсюда следует, что направление вращения стержня должно быть таким, как показано на рисунке, и $\omega = v_{врK} /R = v/R$, где $R$ - радиус стержня. Учитывая, что точки А и В находятся от оси стержня на расстоянии $R/n$, модуль составляющей их скорости, обусловленной вращением стержня, $v_{врA} = v_{врB} = v/n$. Составляющие же скорости этих точек, обусловленные поступательным движением, равны $v$. В интересующий нас момент точка А лежит на диаметре, параллельном плоскости качения, а точка В - на диаметре, перпендикулярном к этой плоскости. Поэтому указанные составляющие скорости точки А взаимно перпендикулярны, а точки В - параллельны и одинаково направлены (см. рис.). Из сказанного следует, что
$| \vec{v}_{A}| = | \vec{v} + \vec{v}_{врA} | = v \sqrt{1+ n^{-2}}, | \vec{v}_{B}| = | \vec{v} + \vec{v}_{врB} | = (1 + n^{-1})v$.
Из этих выражений находим, что искомое отношение скоростей
$v_{A}/v_{B} = \sqrt{n^{2} + 1}/(n+ 1)$.
