Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 4410
2017-10-18 
На дифракционную решетку с периодом $d = 64 мкм$ нормально падает параллельный пучок света, энергия фотона которого равна $W = 4 \cdot 10^{-19} Дж$. За решеткой, параллельно ее плоскости, расположена тонкая собирающая линза с фокусным расстоянием $F = 5 см$, а за ней в фокальной плоскости находится экран. Найти расстояние между главными максимумами первого порядка на экране.
Решение:
Наблюдаемые на экране за линзой чередующиеся светлые и темные полосы — результат интерференции световых пучков, образующихся в результате дифракции света на решетке. Действительно, согласно теории Максвелла свет можно рассматривать, как электромагнитные волны, а прозрачную щель решетки можно заменить совокупностью тонких светящихся нитей, параллельных краям щели. В соответствии с принципом Гюйгенса-Френеля каждая такая нить излучает когерентные цилиндрические волны с одинаковой фазой, так как волновой фронт первичного светового пучка по условию задачи совпадает с плоскостью решетки. То, что параллельный пучок лучей, проходя через собирающую линзу, фокусируется в одном из ее побочных фокусов, с точки зрения волновой теории означает, что все приходящие сюда световые лучи имеют одинаковую фазу, и поэтому здесь наблюдается интерференционный максимум.
На рисунке показаны две соседние щели дифракционной решетки, линза и распределение интенсивности I света в фокальной плоскости линзы, которое наблюдалось бы, если бы решетка состояла всего из двух достаточно узких щелей. При увеличении числа щелей максимумы на экране постепенно становятся все более и более узкими. Если же увеличивать размер щели, то некоторые из максимумов могут пропасть. Условие гашения максимума, который мог бы наблюдаться при достаточно малой ширине щели под углом $\alpha$ к оси падающего нормально на решетку параллельного пучка света, можно найти, приравнивая разность хода крайних лучей, проходящих через одну щель, целому числу длин волн падающего света, т.е.
$b \sin \alpha = m \lambda$,
где $b$ - ширина щели, a $m$- произвольное целое число. Поскольку в условии задачи ничего не говорится о ширине щелей решетки, будем, как это обычно и делается, считать, что щели достаточно узкие, и гашения максимумов низких порядков не происходит. При таком предположении в побочном фокусе $x_{1}$ будет наблюдаться максимум первого порядка, если разность хода ВС между лучами 1 и 2, идущими от участков соседних щелей, находящихся на расстоянии $d$, равна длине падающей волны $\lambda$, т.е. $\lambda = d \sin \phi$, где $\phi$ — угол между главной $Ox_{0}$ и побочной $Ox_{1}$ оптическими осями линзы.
С другой стороны, согласно Планку, монохроматический свет можно представить как поток фотонов, каждый из которых несет энергию $W = h \nu$, где $h \approx 6,63 \cdot 10^{-34} Дж \cdot с$ - постоянная Планка, a $\nu$ - частота колебаний в световом пучке. Поскольку иное в задаче не оговорено, будем считать, что эксперимент проводится в воздухе, и поэтому скорость распространения света $c = 3 \cdot 10^{8} м/с$. Учитывая, что $c = \lambda \nu$, из написанных соотношений можно определить угол $\phi$, соответствующий направлению на первый дифракционный максимум:
$\sin \phi = \lambda /d = hc/(Wd) = 7,8 \cdot 10^{-3}$,
а затем и искомое расстояние между максимумами первого порядка
$\Delta x = 2F tg \phi = 2 Fhc/(Wd) = 0,78 мм$.
При вычислениях было учтено, что при $\phi \ll 1$ $\sin \phi = \phi = tg \phi$, если угол измерять в радианной мере.
На дифракционную решетку с периодом $d = 64 мкм$ нормально падает параллельный пучок света, энергия фотона которого равна $W = 4 \cdot 10^{-19} Дж$. За решеткой, параллельно ее плоскости, расположена тонкая собирающая линза с фокусным расстоянием $F = 5 см$, а за ней в фокальной плоскости находится экран. Найти расстояние между главными максимумами первого порядка на экране.
Решение:
Наблюдаемые на экране за линзой чередующиеся светлые и темные полосы — результат интерференции световых пучков, образующихся в результате дифракции света на решетке. Действительно, согласно теории Максвелла свет можно рассматривать, как электромагнитные волны, а прозрачную щель решетки можно заменить совокупностью тонких светящихся нитей, параллельных краям щели. В соответствии с принципом Гюйгенса-Френеля каждая такая нить излучает когерентные цилиндрические волны с одинаковой фазой, так как волновой фронт первичного светового пучка по условию задачи совпадает с плоскостью решетки. То, что параллельный пучок лучей, проходя через собирающую линзу, фокусируется в одном из ее побочных фокусов, с точки зрения волновой теории означает, что все приходящие сюда световые лучи имеют одинаковую фазу, и поэтому здесь наблюдается интерференционный максимум.
На рисунке показаны две соседние щели дифракционной решетки, линза и распределение интенсивности I света в фокальной плоскости линзы, которое наблюдалось бы, если бы решетка состояла всего из двух достаточно узких щелей. При увеличении числа щелей максимумы на экране постепенно становятся все более и более узкими. Если же увеличивать размер щели, то некоторые из максимумов могут пропасть. Условие гашения максимума, который мог бы наблюдаться при достаточно малой ширине щели под углом $\alpha$ к оси падающего нормально на решетку параллельного пучка света, можно найти, приравнивая разность хода крайних лучей, проходящих через одну щель, целому числу длин волн падающего света, т.е.
$b \sin \alpha = m \lambda$,
где $b$ - ширина щели, a $m$- произвольное целое число. Поскольку в условии задачи ничего не говорится о ширине щелей решетки, будем, как это обычно и делается, считать, что щели достаточно узкие, и гашения максимумов низких порядков не происходит. При таком предположении в побочном фокусе $x_{1}$ будет наблюдаться максимум первого порядка, если разность хода ВС между лучами 1 и 2, идущими от участков соседних щелей, находящихся на расстоянии $d$, равна длине падающей волны $\lambda$, т.е. $\lambda = d \sin \phi$, где $\phi$ — угол между главной $Ox_{0}$ и побочной $Ox_{1}$ оптическими осями линзы.
С другой стороны, согласно Планку, монохроматический свет можно представить как поток фотонов, каждый из которых несет энергию $W = h \nu$, где $h \approx 6,63 \cdot 10^{-34} Дж \cdot с$ - постоянная Планка, a $\nu$ - частота колебаний в световом пучке. Поскольку иное в задаче не оговорено, будем считать, что эксперимент проводится в воздухе, и поэтому скорость распространения света $c = 3 \cdot 10^{8} м/с$. Учитывая, что $c = \lambda \nu$, из написанных соотношений можно определить угол $\phi$, соответствующий направлению на первый дифракционный максимум:
$\sin \phi = \lambda /d = hc/(Wd) = 7,8 \cdot 10^{-3}$,
а затем и искомое расстояние между максимумами первого порядка
$\Delta x = 2F tg \phi = 2 Fhc/(Wd) = 0,78 мм$.
При вычислениях было учтено, что при $\phi \ll 1$ $\sin \phi = \phi = tg \phi$, если угол измерять в радианной мере.
