Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 4409
2017-10-18 
Свет от узкой щели Щ, освещаемой монохроматическим источником, попадает на экран Э непосредственно и после отражения от зеркала 3, плоскость которого перпендикулярна экрану. Если щель расположить на расстоянии $L = 2 м$ до экрана и на расстоянии $h = 2 мм$ от плоскости зеркала, то на экране будут наблюдаться интерференционные полосы шириной $\Delta x = 0,25 мм$. Найти длину волны падающего на щель света.
Решение:
По условию щель является достаточно узкой. Поэтому можно считать, что освещаемая щель, подобно светящейся нити, испускает свет, интенсивность которого не зависит от направления в области, находящейся за экраном со щелью. Рассмотрим два луча, выходящие из одной точки и идущие в плоскости, перпендикулярной щели, как показано на рисунке. Пусть первый из этих лучей попадает непосредственно в точку экрана, находящуюся на расстоянии $h + x_{m}$ от плоскости зеркала, а второй луч попадает в указанную точку после отражения от зеркала. Если в указанной точке наблюдается интерференционный максимум и отраженная волна совпадает по фазе с падающей, то оптическая разность хода этих лучей должна быть кратна целому числу длин волн 1 излучения источника. Если же при отражении происходит потеря полуволны, то в данной точке будет наблюдаться интерференционный максимум при разности хода указанных лучей, кратной нечетному числу полуволн, испускаемых источником. Из сказанного ясно, что ширина интерференционной полосы должна быть одинаковой в обоих случаях. Для определенности будем считать, что при отражении фаза волны не изменяется. Поскольку в условии задачи не оговаривается, каким веществом заполнено пространство между экраном со щелью и экраном, на котором наблюдается интерференционная картина, следует считать, что это вещество является однородным изотропным и его абсолютный показатель преломления равен единице. Поэтому указанная оптическая разность хода будет равна геометрической разности длин отрезков лучей от щели до точки наблюдения. Отсюда, воспользовавшись теоремой Пифагора, получим:
$m \lambda = \sqrt{L^{2} + (2h + x_{m})^{2}} - \sqrt{L^{1} + x_{m}^{2}}$,
где $m$ - целое число, называемое порядком интерференции. По условию $h \ll L$. Поскольку в условии задачи не указаны значения $m$ (хотя бы по порядку величины) при которых ширина интерференционной полосы равна $\Delta x$, будем, как обычно, считать, что эти значения не очень велики. Тогда следует считать, что и $x_{m} \ll L$. При этих допущениях, воспользовавшись формулой приближенного вычисления $\sqrt{1 + \delta} \approx 1 + \delta /2$, справедливой при $\delta \ll 1$, можно преобразовать написанное выше уравнение следующим образом:
$\frac{m \lambda}{L} = \sqrt{1 + \left ( \frac{2h + x_{m}}{L} \right )^{2}} - \sqrt{1 + \left ( \frac{x_{m}}{L} \right )^{2}} = \frac{2h (h + x_{m})}{L^{2}}$.
Отсюда, учитывая, что $\Delta x = x_{m} - x_{m-1}$, определим искомую длину волны:
$\lambda = \frac{2h \Delta x}{L} = 0,5 мкм$.
Отметим, что рассмотренную схему в оптике называют интерференционной схемой с зеркалом Ллойда.
Свет от узкой щели Щ, освещаемой монохроматическим источником, попадает на экран Э непосредственно и после отражения от зеркала 3, плоскость которого перпендикулярна экрану. Если щель расположить на расстоянии $L = 2 м$ до экрана и на расстоянии $h = 2 мм$ от плоскости зеркала, то на экране будут наблюдаться интерференционные полосы шириной $\Delta x = 0,25 мм$. Найти длину волны падающего на щель света.
Решение:
По условию щель является достаточно узкой. Поэтому можно считать, что освещаемая щель, подобно светящейся нити, испускает свет, интенсивность которого не зависит от направления в области, находящейся за экраном со щелью. Рассмотрим два луча, выходящие из одной точки и идущие в плоскости, перпендикулярной щели, как показано на рисунке. Пусть первый из этих лучей попадает непосредственно в точку экрана, находящуюся на расстоянии $h + x_{m}$ от плоскости зеркала, а второй луч попадает в указанную точку после отражения от зеркала. Если в указанной точке наблюдается интерференционный максимум и отраженная волна совпадает по фазе с падающей, то оптическая разность хода этих лучей должна быть кратна целому числу длин волн 1 излучения источника. Если же при отражении происходит потеря полуволны, то в данной точке будет наблюдаться интерференционный максимум при разности хода указанных лучей, кратной нечетному числу полуволн, испускаемых источником. Из сказанного ясно, что ширина интерференционной полосы должна быть одинаковой в обоих случаях. Для определенности будем считать, что при отражении фаза волны не изменяется. Поскольку в условии задачи не оговаривается, каким веществом заполнено пространство между экраном со щелью и экраном, на котором наблюдается интерференционная картина, следует считать, что это вещество является однородным изотропным и его абсолютный показатель преломления равен единице. Поэтому указанная оптическая разность хода будет равна геометрической разности длин отрезков лучей от щели до точки наблюдения. Отсюда, воспользовавшись теоремой Пифагора, получим:
$m \lambda = \sqrt{L^{2} + (2h + x_{m})^{2}} - \sqrt{L^{1} + x_{m}^{2}}$,
где $m$ - целое число, называемое порядком интерференции. По условию $h \ll L$. Поскольку в условии задачи не указаны значения $m$ (хотя бы по порядку величины) при которых ширина интерференционной полосы равна $\Delta x$, будем, как обычно, считать, что эти значения не очень велики. Тогда следует считать, что и $x_{m} \ll L$. При этих допущениях, воспользовавшись формулой приближенного вычисления $\sqrt{1 + \delta} \approx 1 + \delta /2$, справедливой при $\delta \ll 1$, можно преобразовать написанное выше уравнение следующим образом:
$\frac{m \lambda}{L} = \sqrt{1 + \left ( \frac{2h + x_{m}}{L} \right )^{2}} - \sqrt{1 + \left ( \frac{x_{m}}{L} \right )^{2}} = \frac{2h (h + x_{m})}{L^{2}}$.
Отсюда, учитывая, что $\Delta x = x_{m} - x_{m-1}$, определим искомую длину волны:
$\lambda = \frac{2h \Delta x}{L} = 0,5 мкм$.
Отметим, что рассмотренную схему в оптике называют интерференционной схемой с зеркалом Ллойда.
