Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 4408
2017-10-18 
Точечный источник монохроматического света с длиной волны $\lambda$ расположен в фокусе тонкой линзы диаметра $D$ с фокусным расстоянием $F$. За линзой перпендикулярно ее оптической оси находится экран. Из центральной части линзы вырезали полоску шириной $L$, и оставшиеся части линзы симметрично сдвинули. Какое максимальное число интерференционных полос можно наблюдать на экране, если $L \ll D \ll F$?
Решение:
рис.1
рис.2
На рис. 1 схематически показано взаимное положение источника $S$, одной из частей линзы ($Л_{1}$) после ее сдвига и двух крайних лучей, выходящих из этой части линзы. В параксиальном приближении можно утверждать, что все выходящие из части $Л_{1}$ линзы лучи должны быть параллельны побочной оптической оси $SO$, т.к. источник по условию расположен в фокальной плоскости линзы. Угол наклона $\alpha$ этой оптической оси к прямой $SC$, проходящей через источник перпендикулярно главной плоскости линзы, можно определить из соотношения: $tg \alpha = L/(2F)$. В силу симметрии расположения частей линзы ясно, что выходящий из второй ее части пучок так же будет
параллельным, но отклонится на угол $\alpha$ в другую сторону от прямой $SC$. Ha рис. 1 один из крайних лучей этого пучка изображен пунктирной линией со стрелкой.
На рис. 2 показаны по два луча, проходящих через первую и вторую части линзы, причем одна пара этих лучей пересекается в точке экрана «О», через которую проходит продолжение прямой $SC$. Из симметрии опыта следует, что эти лучи проходят одинаковые расстояния от точечного источника $S$ до точки пересечения. Поэтому в точке «О» должен наблюдаться интерференционный максимум нулевого порядка. В точке «1» будет наблюдаться максимум первого порядка, если разность хода попадающих в эту точку лучей будет равна длине волны $\lambda$ света, испускаемого источником $S$. Если расстояние между точками «О» и «1» обозначить $\delta x$, то учитывая, что направления луча и нормали к волновому фронту в изотропной среде совпадают в каждой точке, можно утверждать, что $\delta x = \lambda /(2 \sin \alpha)$ и не зависит от расстояния между линзой и экраном. Более того, все расстояния между соседними интерференционными максимумами в данном опыте должны быть одинаковыми.
Поскольку интерференционная картина может наблюдаться только в области перекрытия пучков, то размер этой картины будет наибольшим, если экран Э расположить так, как показано на рис. 1. Из этого рисунка следует, что максимальный размер области перекрытия пучков, проходящих через обе части линзы, $\Delta x = (D - L)/2$. Следовательно, искомое максимальное число интерференционных полос, которые могут наблюдаться в данном опыте, должно быть равно
$N_{max} = E \left \{ \frac{(D - L) \sin \alpha}{ \lambda} \right \} + 1$,
где символ $E$ означает, что берется целая часть от выражения, стоящего в фигурных скобках. Учитывая, что по условию $L \ll D < F$, из полученного ранее соотношения следует, что $tg \alpha \ll 1$. Поэтому следует считать, что при измерении угла а в радианной мере $tg \alpha \approx \sin \alpha$, а максимальное число наблюдаемых интерференционных полос можно определить по формуле:
$N_{max} \approx E \left \{ \frac{DL}{2F \lambda} \right \}$,
если предполагать, что ширина $L$ вырезанной полоски значительно превышает длину волны света $\lambda$ (-0,5 мкм), испускаемого источником.
Точечный источник монохроматического света с длиной волны $\lambda$ расположен в фокусе тонкой линзы диаметра $D$ с фокусным расстоянием $F$. За линзой перпендикулярно ее оптической оси находится экран. Из центральной части линзы вырезали полоску шириной $L$, и оставшиеся части линзы симметрично сдвинули. Какое максимальное число интерференционных полос можно наблюдать на экране, если $L \ll D \ll F$?
Решение:
рис.1
рис.2
На рис. 1 схематически показано взаимное положение источника $S$, одной из частей линзы ($Л_{1}$) после ее сдвига и двух крайних лучей, выходящих из этой части линзы. В параксиальном приближении можно утверждать, что все выходящие из части $Л_{1}$ линзы лучи должны быть параллельны побочной оптической оси $SO$, т.к. источник по условию расположен в фокальной плоскости линзы. Угол наклона $\alpha$ этой оптической оси к прямой $SC$, проходящей через источник перпендикулярно главной плоскости линзы, можно определить из соотношения: $tg \alpha = L/(2F)$. В силу симметрии расположения частей линзы ясно, что выходящий из второй ее части пучок так же будет
параллельным, но отклонится на угол $\alpha$ в другую сторону от прямой $SC$. Ha рис. 1 один из крайних лучей этого пучка изображен пунктирной линией со стрелкой.
На рис. 2 показаны по два луча, проходящих через первую и вторую части линзы, причем одна пара этих лучей пересекается в точке экрана «О», через которую проходит продолжение прямой $SC$. Из симметрии опыта следует, что эти лучи проходят одинаковые расстояния от точечного источника $S$ до точки пересечения. Поэтому в точке «О» должен наблюдаться интерференционный максимум нулевого порядка. В точке «1» будет наблюдаться максимум первого порядка, если разность хода попадающих в эту точку лучей будет равна длине волны $\lambda$ света, испускаемого источником $S$. Если расстояние между точками «О» и «1» обозначить $\delta x$, то учитывая, что направления луча и нормали к волновому фронту в изотропной среде совпадают в каждой точке, можно утверждать, что $\delta x = \lambda /(2 \sin \alpha)$ и не зависит от расстояния между линзой и экраном. Более того, все расстояния между соседними интерференционными максимумами в данном опыте должны быть одинаковыми.
Поскольку интерференционная картина может наблюдаться только в области перекрытия пучков, то размер этой картины будет наибольшим, если экран Э расположить так, как показано на рис. 1. Из этого рисунка следует, что максимальный размер области перекрытия пучков, проходящих через обе части линзы, $\Delta x = (D - L)/2$. Следовательно, искомое максимальное число интерференционных полос, которые могут наблюдаться в данном опыте, должно быть равно
$N_{max} = E \left \{ \frac{(D - L) \sin \alpha}{ \lambda} \right \} + 1$,
где символ $E$ означает, что берется целая часть от выражения, стоящего в фигурных скобках. Учитывая, что по условию $L \ll D < F$, из полученного ранее соотношения следует, что $tg \alpha \ll 1$. Поэтому следует считать, что при измерении угла а в радианной мере $tg \alpha \approx \sin \alpha$, а максимальное число наблюдаемых интерференционных полос можно определить по формуле:
$N_{max} \approx E \left \{ \frac{DL}{2F \lambda} \right \}$,
если предполагать, что ширина $L$ вырезанной полоски значительно превышает длину волны света $\lambda$ (-0,5 мкм), испускаемого источником.
