Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 4406
2017-10-18 
Квадрат со стороной $a = 0,5 см$ расположен перед линзой с фокусным расстоянием $F = 10 см$ так, что одна пара его сторон перпендикулярна, а другая - параллельна главной оптической оси линзы, причем эта ось проходит через центр квадрата. Расстояние от ближайшей стороны квадрата до линзы равно $b = 30 см$. Найти площадь изображения квадрата.
Решение:
Построение изображения квадрата, показанное на рисунке, выполнено в предположении, что линза является тонкой, а световые пучки, с помощью которых формируется изображение, являются достаточно узкими, т.е. справедливо так называемое параксиальное приближение. В этом случае лучи, падающие на линзу параллельно ее главной оптической оси, после преломления проходят через главный фокус $F$, а лучи, идущие через оптический центр линзы (точка 0), проходят через линзу без преломления. Поэтому изображение квадрата, все точки которого находятся от линзы на расстояниях, больших фокусного, будет действительным и таким, как показано на рисунке, т.е. будет иметь вид равнобочной трапеции.
Согласно формуле тонкой линзы, справедливой при указанных предположениях, расстояния от линзы до изображений наиболее удаленной и ближайшей к ней сторон квадрата должны быть равны:
$L = \frac{(a+b)F}{a+b-F}$ и $L + h = \frac{bF}{b - F}$,
где $h$ — высота трапеции.
Определим теперь длины оснований трапеции $A_{1}$ и $A_{2}$. Из формулы для поперечного увеличения (либо непосредственно из подобия соответствующих треугольников на приведенном рисунке) следует, что
$A_{1} = \frac{aL}{a+b} = \frac{aF}{a+b- F}$ и $A_{2} = \frac{a(L + h)}{b} = \frac{aF}{b- F}$.
Поскольку площадь трапеции равна половине произведения суммы длин оснований на высоту, то искомая площадь изображения квадрата при соблюдении указанных выше предположений должна быть равна
$s = \frac{a^{2}F^{2}(a + 2b - 2F)}{2(b - F)^{2}(a + b - F)^{2}} \approx 3 мм^{2}$.
Квадрат со стороной $a = 0,5 см$ расположен перед линзой с фокусным расстоянием $F = 10 см$ так, что одна пара его сторон перпендикулярна, а другая - параллельна главной оптической оси линзы, причем эта ось проходит через центр квадрата. Расстояние от ближайшей стороны квадрата до линзы равно $b = 30 см$. Найти площадь изображения квадрата.
Решение:
Построение изображения квадрата, показанное на рисунке, выполнено в предположении, что линза является тонкой, а световые пучки, с помощью которых формируется изображение, являются достаточно узкими, т.е. справедливо так называемое параксиальное приближение. В этом случае лучи, падающие на линзу параллельно ее главной оптической оси, после преломления проходят через главный фокус $F$, а лучи, идущие через оптический центр линзы (точка 0), проходят через линзу без преломления. Поэтому изображение квадрата, все точки которого находятся от линзы на расстояниях, больших фокусного, будет действительным и таким, как показано на рисунке, т.е. будет иметь вид равнобочной трапеции.
Согласно формуле тонкой линзы, справедливой при указанных предположениях, расстояния от линзы до изображений наиболее удаленной и ближайшей к ней сторон квадрата должны быть равны:
$L = \frac{(a+b)F}{a+b-F}$ и $L + h = \frac{bF}{b - F}$,
где $h$ — высота трапеции.
Определим теперь длины оснований трапеции $A_{1}$ и $A_{2}$. Из формулы для поперечного увеличения (либо непосредственно из подобия соответствующих треугольников на приведенном рисунке) следует, что
$A_{1} = \frac{aL}{a+b} = \frac{aF}{a+b- F}$ и $A_{2} = \frac{a(L + h)}{b} = \frac{aF}{b- F}$.
Поскольку площадь трапеции равна половине произведения суммы длин оснований на высоту, то искомая площадь изображения квадрата при соблюдении указанных выше предположений должна быть равна
$s = \frac{a^{2}F^{2}(a + 2b - 2F)}{2(b - F)^{2}(a + b - F)^{2}} \approx 3 мм^{2}$.
