Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 4405
2017-10-18 
В лупу рассматривают конец иглы, ось которой совпадает с главной оптической осью лупы. Конец острия находится от лупы на расстоянии а, меньшем фокусного расстояния $F$ лупы, и виден как конус с углом при вершине $2 \alpha$. Какова реальная величина угла при вершине острия иглы?
Решение:
Будем решать эту задачу, предполагая, как обычно, что лупу можно считать тонкой линзой, и справедливы правила построения изображения в параксиальном приближении. В этом приближении, как известно, изображение получается стигматичным, т.е. все лучи, исходящие из какой-либо точки предмета, после преломления пересекаются в одной точке. Поэтому для построения изображения можно использовать даже*те лучи, которые из-за ограниченности диаметра линзы реально не проходят через нее. Принципиально та или иная точка предмета не может наблюдаться, если к наблюдателю от данной точки не попадает ни одного луча.
Первый вопрос, который возникает при решении этой задачи, заключается в том, какова реальная форма острия иглы. Ответить на этот вопрос можно, воспользовавшись обратимостью хода световых лучей. На основании этого закона найдем форму острия по его изображению. Поскольку конец острия находится от лупы на расстоянии, меньшем фокусного, то его изображение будет мнимым и будет располагаться по ту же сторону от лупы, где находится острие. Если начать строить отдельные точки поверхности острия с помощью лучей, реально проходящих через лупу, то получить правильное представление о форме острия будет крайне сложно из-за того, что даже незначительные ошибки при проведении лучей, направления распространения которых отличаются незначительно, могут привести к значительным погрешностям нахождения точки пересечения этих лучей. Чтобы избежать этой трудности, рассмотрим ход луча, совпадающего с одной из образующих конуса изображения острия. Ясно, что соответствующие точки поверхности острия должны находиться на этом луче. Следует считать, что игла находится в однородной среде. Поэтому указанный луч должен совпадать с некоторой прямой, и, следовательно, конец острия имеет вид конуса.
Пусть указанный луч пересекает главную плоскость лупы в точке А, а ее фокальную плоскость — в точке В, как показано на рисунке. Поскольку в параксиальном приближении в фокальной плоскости должны пересекаться все лучи, падающие на линзу параллельным пучком, и луч, идущий через оптический центр линзы (точка 0), не преломляется, то интересующий нас луч должен совпадать с лучом 1. Пусть угол наклона этого луча к главной оптической оси лупы равен $b$. Тогда из условия задачи и приведенного рисунка следует, что тангенсы половин углов при вершине иглы и ее изображения удовлетворяют соотношениям: $tg \alpha = h/b$ и $tg \beta = h/a$ , где $h$ — расстояние от оптического центра лупы до точки падения на нее указанного выше луча, a $b$ - удаление вершины изображения острия иглы от линзы. Поскольку получаемое изображение является мнимым, то согласно формуле тонкой линзы в параксиальном приближении должно быть выполнено соотношение $a^{-1} - b^{-1}= F^{-1}$. Следовательно,
$tg \beta = \frac{F tg \alpha }{F - a}$,
а потому искомый угол можно найти из соотношения:
$2 \beta = 2 arctg \frac{F tg \alpha}{F - a}$.
В лупу рассматривают конец иглы, ось которой совпадает с главной оптической осью лупы. Конец острия находится от лупы на расстоянии а, меньшем фокусного расстояния $F$ лупы, и виден как конус с углом при вершине $2 \alpha$. Какова реальная величина угла при вершине острия иглы?
Решение:
Будем решать эту задачу, предполагая, как обычно, что лупу можно считать тонкой линзой, и справедливы правила построения изображения в параксиальном приближении. В этом приближении, как известно, изображение получается стигматичным, т.е. все лучи, исходящие из какой-либо точки предмета, после преломления пересекаются в одной точке. Поэтому для построения изображения можно использовать даже*те лучи, которые из-за ограниченности диаметра линзы реально не проходят через нее. Принципиально та или иная точка предмета не может наблюдаться, если к наблюдателю от данной точки не попадает ни одного луча.
Первый вопрос, который возникает при решении этой задачи, заключается в том, какова реальная форма острия иглы. Ответить на этот вопрос можно, воспользовавшись обратимостью хода световых лучей. На основании этого закона найдем форму острия по его изображению. Поскольку конец острия находится от лупы на расстоянии, меньшем фокусного, то его изображение будет мнимым и будет располагаться по ту же сторону от лупы, где находится острие. Если начать строить отдельные точки поверхности острия с помощью лучей, реально проходящих через лупу, то получить правильное представление о форме острия будет крайне сложно из-за того, что даже незначительные ошибки при проведении лучей, направления распространения которых отличаются незначительно, могут привести к значительным погрешностям нахождения точки пересечения этих лучей. Чтобы избежать этой трудности, рассмотрим ход луча, совпадающего с одной из образующих конуса изображения острия. Ясно, что соответствующие точки поверхности острия должны находиться на этом луче. Следует считать, что игла находится в однородной среде. Поэтому указанный луч должен совпадать с некоторой прямой, и, следовательно, конец острия имеет вид конуса.
Пусть указанный луч пересекает главную плоскость лупы в точке А, а ее фокальную плоскость — в точке В, как показано на рисунке. Поскольку в параксиальном приближении в фокальной плоскости должны пересекаться все лучи, падающие на линзу параллельным пучком, и луч, идущий через оптический центр линзы (точка 0), не преломляется, то интересующий нас луч должен совпадать с лучом 1. Пусть угол наклона этого луча к главной оптической оси лупы равен $b$. Тогда из условия задачи и приведенного рисунка следует, что тангенсы половин углов при вершине иглы и ее изображения удовлетворяют соотношениям: $tg \alpha = h/b$ и $tg \beta = h/a$ , где $h$ — расстояние от оптического центра лупы до точки падения на нее указанного выше луча, a $b$ - удаление вершины изображения острия иглы от линзы. Поскольку получаемое изображение является мнимым, то согласно формуле тонкой линзы в параксиальном приближении должно быть выполнено соотношение $a^{-1} - b^{-1}= F^{-1}$. Следовательно,
$tg \beta = \frac{F tg \alpha }{F - a}$,
а потому искомый угол можно найти из соотношения:
$2 \beta = 2 arctg \frac{F tg \alpha}{F - a}$.
