Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 4404
2017-10-18 
Прямоугольная рамка, изготовленная из тонкой проволоки, помещена в магнитное поле, линии индукции которого перпендикулярны плоскости рамки. Рамку поворачивают вокруг одной из ее сторон на $180^{ \circ}$ с постоянной угловой скоростью $\omega$. При этом через рамку протекает заряд $Q$, а максимальный момент сил, действовавший на нее со стороны поля, равен $M$. Найти сопротивление рамки, пренебрегая ее индуктивностью.
Решение:
При повороте рамки во внешнем магнитном поле в ней возникает индукционный ток. Поскольку в условии задачи сказано, что следует пренебречь индуктивностью рамки, то следует пренебречь и магнитным полем токов в рамке. Учитывая, что рамка изготовлена из тонкого проводника, будем пренебрегать и магнитным потоком, пронизывающим этот проводник. Тогда магнитный поток, сцепленный с рамкой, когда она повернулась на угол $\alpha$ от исходного положения, в соответствии с обозначениями, приведенными на рисунке, будет равен $\Phi = Bba \cos \alpha$, в рамке в этот момент времени $t = \alpha / \omega$ ЭДС по закону электромагнитной индукции Фарадея должна быть равна
$\mathcal{E}(t) = \left | lim_{ \Delta t \rightarrow 0} \frac{ \Delta \Phi}{ \Delta y} \right | = \left | Bba lim_{ \Delta \rightarrow 0} \frac{ \cos \omega (t + \Delta t) - \cos \omega t}{ \Delta t} \right | = |-Bba \omega \sin \omega t|$.
Поскольку индуктивностью рамки мы пренебрегли, то согласно закону Ома для полной цепи по рамке с сопротивлением $R$ в этот момент должен течь ток $I(t) = \mathcal{E}(t)/R$, создающий в соответствии с правилом Ленца момент, препятствующий вращению рамки. Согласно закону Ампера на верхнюю сторону рамки
действует сила $F(t) = I(t) Bb$, направленная перпендикулярно как вектору индукции $\vec{B}$, так и указанной стороне рамки. Момент этой силы относительно оси поворота, совпадающей по условию с нижней стороной рамки, равен
$M(t) = F(t) a \sin \alpha (t) = \omega (Bba \sin \omega t)^{1} /R$.
Учитывая, что $0 \leq \omega t \leq \pi$, из предыдущего выражения получим, что максимальная величина тормозящего момента будет тогда, когда рамка повернется на угол $\alpha = \pi /2$, причем $M_{max} = M = \omega (Bba)^{2}/R$.
Во время поворота величина тока в рамке не остается постоянной, хотя его направление при заданном повороте и остается неизменным. Вычислить протекший по рамке заряд за время ее поворота можно, вспоминая, что по определению сила тока в момент времени $t$
$I(t) = \frac{1}{R} lim_{ \Delta t \rightarrow 0} \left | \frac{ \Delta \Phi}{ \Delta t} \right | = \frac{1}{R} lim_{ \Delta t \rightarrow 0} \left | \frac{ \Phi (t + \Delta t) - \Phi(t)}{ \Delta t} \right |$,
Поскольку в рассматриваемом случае
$I(t) = lim_{ \Delta t \rightarrow 0} \frac{Q(t + \Delta t) - Q(t)}{ \Delta t}$.
из сопоставления двух последних выражении получим:
$Q = Q( \pi / \omega) - Q(0) = | \Phi ( \pi / \omega) - \Phi(0) | /R = 2 Bba/R$.
Таким образом, искомое сопротивление рамки при выполнении сделанных выше предположений должно быть равно:
$R = \frac{4M}{ \omega Q^{2}}$.
Прямоугольная рамка, изготовленная из тонкой проволоки, помещена в магнитное поле, линии индукции которого перпендикулярны плоскости рамки. Рамку поворачивают вокруг одной из ее сторон на $180^{ \circ}$ с постоянной угловой скоростью $\omega$. При этом через рамку протекает заряд $Q$, а максимальный момент сил, действовавший на нее со стороны поля, равен $M$. Найти сопротивление рамки, пренебрегая ее индуктивностью.
Решение:
При повороте рамки во внешнем магнитном поле в ней возникает индукционный ток. Поскольку в условии задачи сказано, что следует пренебречь индуктивностью рамки, то следует пренебречь и магнитным полем токов в рамке. Учитывая, что рамка изготовлена из тонкого проводника, будем пренебрегать и магнитным потоком, пронизывающим этот проводник. Тогда магнитный поток, сцепленный с рамкой, когда она повернулась на угол $\alpha$ от исходного положения, в соответствии с обозначениями, приведенными на рисунке, будет равен $\Phi = Bba \cos \alpha$, в рамке в этот момент времени $t = \alpha / \omega$ ЭДС по закону электромагнитной индукции Фарадея должна быть равна
$\mathcal{E}(t) = \left | lim_{ \Delta t \rightarrow 0} \frac{ \Delta \Phi}{ \Delta y} \right | = \left | Bba lim_{ \Delta \rightarrow 0} \frac{ \cos \omega (t + \Delta t) - \cos \omega t}{ \Delta t} \right | = |-Bba \omega \sin \omega t|$.
Поскольку индуктивностью рамки мы пренебрегли, то согласно закону Ома для полной цепи по рамке с сопротивлением $R$ в этот момент должен течь ток $I(t) = \mathcal{E}(t)/R$, создающий в соответствии с правилом Ленца момент, препятствующий вращению рамки. Согласно закону Ампера на верхнюю сторону рамки
действует сила $F(t) = I(t) Bb$, направленная перпендикулярно как вектору индукции $\vec{B}$, так и указанной стороне рамки. Момент этой силы относительно оси поворота, совпадающей по условию с нижней стороной рамки, равен
$M(t) = F(t) a \sin \alpha (t) = \omega (Bba \sin \omega t)^{1} /R$.
Учитывая, что $0 \leq \omega t \leq \pi$, из предыдущего выражения получим, что максимальная величина тормозящего момента будет тогда, когда рамка повернется на угол $\alpha = \pi /2$, причем $M_{max} = M = \omega (Bba)^{2}/R$.
Во время поворота величина тока в рамке не остается постоянной, хотя его направление при заданном повороте и остается неизменным. Вычислить протекший по рамке заряд за время ее поворота можно, вспоминая, что по определению сила тока в момент времени $t$
$I(t) = \frac{1}{R} lim_{ \Delta t \rightarrow 0} \left | \frac{ \Delta \Phi}{ \Delta t} \right | = \frac{1}{R} lim_{ \Delta t \rightarrow 0} \left | \frac{ \Phi (t + \Delta t) - \Phi(t)}{ \Delta t} \right |$,
Поскольку в рассматриваемом случае
$I(t) = lim_{ \Delta t \rightarrow 0} \frac{Q(t + \Delta t) - Q(t)}{ \Delta t}$.
из сопоставления двух последних выражении получим:
$Q = Q( \pi / \omega) - Q(0) = | \Phi ( \pi / \omega) - \Phi(0) | /R = 2 Bba/R$.
Таким образом, искомое сопротивление рамки при выполнении сделанных выше предположений должно быть равно:
$R = \frac{4M}{ \omega Q^{2}}$.
