Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 4402
2017-10-18 
Концы двух рельсов, лежащих на горизонтальной плоскости на расстоянии $L$ друг от друга, подключены к конденсатору емкостью $C$. Рельсы находятся в однородном магнитном поле, индукция которого $\vec{B}$ направлена вертикально. На рельсы кладут перпендикулярно им металлический стержень массы $m$. К середине стержня параллельно рельсам прикладывают силу $\vec{F}$. Пренебрегая трением и сопротивлением проводников, найти ускорение стержня.
Решение:
Под действием силы $\vec{F}$ при заданных условиях стержень должен начать двигаться в горизонтальном направлении, перпендикулярно своей оси. При этом на свободные заряды, перемещающиеся вместе со стержнем со скоростью $v$ перпендикулярно линиям индукции магнитного поля, будет действовать сила Лоренца так, как действовало бы электрическое поле с напряженностью $E_{л} = vB$, направленной вдоль оси стержня. Поскольку рельсы гладкие, стержень будет скользить по ним без вращения, и все точки стержня должны двигаться с одинаковыми скоростями. Следовательно, напряженность поля $E_{л}$ во всех точках стержня должна быть одинаковой. Поэтому действие указанного электрического поля на отрезке стержня длиной $L$ можно охарактеризовать ЭДС $\mathcal{E} = vBL$. В результате действия этой ЭДС между пластинами конденсатора должна существовать разность потенциалов $\Delta \phi = \mathcal{E}$ , т.к. сопротивлением всех проводников и контактов по условию задачи следует пренебречь. Сказанное верно в предположении, которое обычно и делается при решении подобных задач, что можно пренебречь магнитным полем, порождаемым током в элементах схемы, по сравнению с внешним магнитным полем. Иными словами, мы пренебрегаем индуктивностью контура, образуемого стержнем, рельсами и конденсатором с проводниками, соединяющими его с рельсами.
При изменении скорости движения стержня разность потенциалов между обкладками конденсатора будет изменяться. Следовательно, должен изменяться и заряд конденсатора $Q = C \Delta \phi$. Это означает, что по проводникам течет ток, величину которого можно определить из соотношения
$I = lim_{ \Delta t \rightarrow 0} \frac{ \Delta Q}{ \Delta t} = lim_{ \Delta \rightarrow 0} CBL \frac{v( t + \Delta t) - v(t)}{ \Delta t} = CBL lim_{ \Delta t \rightarrow 0} \frac{ \Delta v}{ \Delta t} = CBL a(t)$,
где $a(t)$ — ускорение стержня в момент времени $t$.
Из-за протекания тока по стержню на него будет действовать сила Ампера $F_{A} = ILB$, направленная согласно правилу Ленца в сторону, противоположную направлению силы $\vec{F}$, вызывающей появление индукционного тока в рассматриваемом контуре. Если, как обычно, лабораторную систему отсчета, относительно которой заданная плоскость и источник магнитного поля $\vec{B}$ покоятся, считать инерциальной, то на основании II закона Ньютона в соответствии со сделанными выше предположениями можно утверждать, что уравнение движения стержня в проекции на направление силы $\vec{F}$ должно иметь вид
$ma(t) = F - F_{A} = F - B^{2} L^{2} Ca(t)$.
Из этого уравнения следует, что искомое ускорение стержня должно быть равно
$\vec{a}(t) = \frac{ \vec{F}}{m + B^{2}L^{2}C}$,
т.е. не зависит от времени и совпадает с направлением действия силы $\vec{F}$ (вне зависимости от того, направлена эта сила к концу рельсов, где находится конденсатор, или в противоположную сторону).
Концы двух рельсов, лежащих на горизонтальной плоскости на расстоянии $L$ друг от друга, подключены к конденсатору емкостью $C$. Рельсы находятся в однородном магнитном поле, индукция которого $\vec{B}$ направлена вертикально. На рельсы кладут перпендикулярно им металлический стержень массы $m$. К середине стержня параллельно рельсам прикладывают силу $\vec{F}$. Пренебрегая трением и сопротивлением проводников, найти ускорение стержня.
Решение:
Под действием силы $\vec{F}$ при заданных условиях стержень должен начать двигаться в горизонтальном направлении, перпендикулярно своей оси. При этом на свободные заряды, перемещающиеся вместе со стержнем со скоростью $v$ перпендикулярно линиям индукции магнитного поля, будет действовать сила Лоренца так, как действовало бы электрическое поле с напряженностью $E_{л} = vB$, направленной вдоль оси стержня. Поскольку рельсы гладкие, стержень будет скользить по ним без вращения, и все точки стержня должны двигаться с одинаковыми скоростями. Следовательно, напряженность поля $E_{л}$ во всех точках стержня должна быть одинаковой. Поэтому действие указанного электрического поля на отрезке стержня длиной $L$ можно охарактеризовать ЭДС $\mathcal{E} = vBL$. В результате действия этой ЭДС между пластинами конденсатора должна существовать разность потенциалов $\Delta \phi = \mathcal{E}$ , т.к. сопротивлением всех проводников и контактов по условию задачи следует пренебречь. Сказанное верно в предположении, которое обычно и делается при решении подобных задач, что можно пренебречь магнитным полем, порождаемым током в элементах схемы, по сравнению с внешним магнитным полем. Иными словами, мы пренебрегаем индуктивностью контура, образуемого стержнем, рельсами и конденсатором с проводниками, соединяющими его с рельсами.
При изменении скорости движения стержня разность потенциалов между обкладками конденсатора будет изменяться. Следовательно, должен изменяться и заряд конденсатора $Q = C \Delta \phi$. Это означает, что по проводникам течет ток, величину которого можно определить из соотношения
$I = lim_{ \Delta t \rightarrow 0} \frac{ \Delta Q}{ \Delta t} = lim_{ \Delta \rightarrow 0} CBL \frac{v( t + \Delta t) - v(t)}{ \Delta t} = CBL lim_{ \Delta t \rightarrow 0} \frac{ \Delta v}{ \Delta t} = CBL a(t)$,
где $a(t)$ — ускорение стержня в момент времени $t$.
Из-за протекания тока по стержню на него будет действовать сила Ампера $F_{A} = ILB$, направленная согласно правилу Ленца в сторону, противоположную направлению силы $\vec{F}$, вызывающей появление индукционного тока в рассматриваемом контуре. Если, как обычно, лабораторную систему отсчета, относительно которой заданная плоскость и источник магнитного поля $\vec{B}$ покоятся, считать инерциальной, то на основании II закона Ньютона в соответствии со сделанными выше предположениями можно утверждать, что уравнение движения стержня в проекции на направление силы $\vec{F}$ должно иметь вид
$ma(t) = F - F_{A} = F - B^{2} L^{2} Ca(t)$.
Из этого уравнения следует, что искомое ускорение стержня должно быть равно
$\vec{a}(t) = \frac{ \vec{F}}{m + B^{2}L^{2}C}$,
т.е. не зависит от времени и совпадает с направлением действия силы $\vec{F}$ (вне зависимости от того, направлена эта сила к концу рельсов, где находится конденсатор, или в противоположную сторону).
