Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 4399
2017-10-18 
Найти изменение энергии конденсатора $C_{2}$ после замыкания ключа в схеме, изображенной на рисунке. Сопротивления резисторов, емкости конденсаторов, внутреннее сопротивление и ЭДС батареи указаны на рисунке.
Решение:
Согласно закону Ома для замкнутой цепи, если пренебрегать сопротивлением соединительных проводов, установившаяся разность потенциалов между клеммами батареи как при разомкнутом, так и при замкнутом ключе, должна быть равна
$\Delta \phi = \frac{ \mathcal{E} (R_{1} + R_{2})}{R_{1} + R_{2} + r}$.
При этом заряды конденсаторов $C_{1}$ и $C_{2}$ при разомкнутом ключе (считая, как обычно, что до включения батареи оба конденсатора были разряжены) должны быть одинаковы и равны
$q_{н} = \Delta \phi \left ( \frac{1}{C_{1}} + \frac{1}{C_{1}} \right )^{-1} = \frac{ \mathcal{E} C_{1} C_{1} (R_{1} + R_{2})}{(C_{1} + C_{2})(R_{1} + R_{1} + r)}$.
После замыкания ключа начинается перезаряд конденсаторов, в результате чего разности потенциалов между пластинами конденсаторов должны в установившемся режиме стать равными падениям напряжения на сопротивлениях, параллельно которым в этом случае оказываются подключенными конденсаторы. Отсюда следует, что между пластинами второго конденсатора должна установиться разность потенциалов
$\Delta \phi_{2к} = \frac{ \mathcal{E} R_{2}}{R_{1} + R_{2} + r}$.
По определению заряд $q$ конденсатора емкостью $C$ и разность потенциалов $\Delta \phi$ между его пластинами связаны соотношением $q = C \Delta \phi$. Вспоминая, что энергия заряженного конденсатора может быть вычислена по формуле $\Delta W = C \Delta \phi^{2} /2$ , с помощью полученных ранее соотношений вычислим искомое изменение энергии конденсатора $C_{2}$ после замыкания ключа:
$\Delta W = \frac{C_{2} \Delta \phi_{2к}^{2}}{2} - \frac{q_{н}^{2}}{2C_{2}} = \frac{ \mathcal{E}^{2} (R_{1} + R_{2})^{2} C_{2} }{ 2 (R_{1} + R_{2} + r)^{2}} \left [ \left ( \frac{R_{2}}{R_{1} + R_{2}} - \left ( \frac{C_{1}}{C_{1} + C_{2}} \right )^{2} \right )^{2} \right ]$.
Найти изменение энергии конденсатора $C_{2}$ после замыкания ключа в схеме, изображенной на рисунке. Сопротивления резисторов, емкости конденсаторов, внутреннее сопротивление и ЭДС батареи указаны на рисунке.
Решение:
Согласно закону Ома для замкнутой цепи, если пренебрегать сопротивлением соединительных проводов, установившаяся разность потенциалов между клеммами батареи как при разомкнутом, так и при замкнутом ключе, должна быть равна
$\Delta \phi = \frac{ \mathcal{E} (R_{1} + R_{2})}{R_{1} + R_{2} + r}$.
При этом заряды конденсаторов $C_{1}$ и $C_{2}$ при разомкнутом ключе (считая, как обычно, что до включения батареи оба конденсатора были разряжены) должны быть одинаковы и равны
$q_{н} = \Delta \phi \left ( \frac{1}{C_{1}} + \frac{1}{C_{1}} \right )^{-1} = \frac{ \mathcal{E} C_{1} C_{1} (R_{1} + R_{2})}{(C_{1} + C_{2})(R_{1} + R_{1} + r)}$.
После замыкания ключа начинается перезаряд конденсаторов, в результате чего разности потенциалов между пластинами конденсаторов должны в установившемся режиме стать равными падениям напряжения на сопротивлениях, параллельно которым в этом случае оказываются подключенными конденсаторы. Отсюда следует, что между пластинами второго конденсатора должна установиться разность потенциалов
$\Delta \phi_{2к} = \frac{ \mathcal{E} R_{2}}{R_{1} + R_{2} + r}$.
По определению заряд $q$ конденсатора емкостью $C$ и разность потенциалов $\Delta \phi$ между его пластинами связаны соотношением $q = C \Delta \phi$. Вспоминая, что энергия заряженного конденсатора может быть вычислена по формуле $\Delta W = C \Delta \phi^{2} /2$ , с помощью полученных ранее соотношений вычислим искомое изменение энергии конденсатора $C_{2}$ после замыкания ключа:
$\Delta W = \frac{C_{2} \Delta \phi_{2к}^{2}}{2} - \frac{q_{н}^{2}}{2C_{2}} = \frac{ \mathcal{E}^{2} (R_{1} + R_{2})^{2} C_{2} }{ 2 (R_{1} + R_{2} + r)^{2}} \left [ \left ( \frac{R_{2}}{R_{1} + R_{2}} - \left ( \frac{C_{1}}{C_{1} + C_{2}} \right )^{2} \right )^{2} \right ]$.
