Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 4396
2017-10-18 
Первая и третья из трех тонких незаряженных концентрических металлических сфер соединены между собой тонким изолированным проводником, проходящим через малое отверстие во второй сфере. Сферы находятся в вакууме. Радиусы сфер равны $R_{1} = R, R_{2} = 2R, R_{3} = 4R$. Найти изменение потенциала второй сферы после сообщения ей заряда $q$.
Решение:
В исходном состоянии разность потенциалов между сферами равна нулю, т.к. из-за отсутствия зарядов на сферах электрическое поле между ними отсутствует. При сообщении второй сфере заряда q по проводнику, соединяющему первую и третью сферы, должен протечь заряд такой величины, чтобы потенциалы первой и третьей сфер вновь оказались равными. Поскольку проводник, соединяющий эти сферы, тонкий, можно пренебречь зарядами, находящимися на этом проводнике, и следовательно, пренебречь электрическим полем, порождаемым зарядами этого проводника. Далее, поскольку отверстие во второй сфере, через которое проходит названный проводник, мало, а центры сфер совпадают, можно считать, что силовые линии поля должны быть направлены вдоль радиусов сфер, т.е. картина силовых линий между ними и снаружи должна иметь такой же вид, как и от точечных зарядов, находящихся в центре сфер.
Если в результате перераспределения зарядов между первой и третьей сферами после сообщения заряда $q$ второй сфере заряд первой сферы (с учетом его знака) стал равным $q_{1}$, то напряженность поля между этими сферами в соответствии со сказанным должна быть равна
$\vec{E}(r) = \frac{ q_{1} \vec{r}}{4 \pi \epsilon_{0} r^{3}}$,
где $\epsilon_{0}$ — электрическая постоянная, а между второй и третьей сферами -
$\vec{E}_(r) = \frac{ (q_{1} + q) \vec{r} }{ 4 \pi \epsilon_{0} r^{3} }$.
Напомним, что разность потенциалов между двумя точками по определению равна отношению работы сил поля при перемещении пробного заряда из первой точки во вторую к величине этого заряда, а потенциал поля, создаваемого точечным зарядом $Q$ в вакууме на расстоянии $R$ от него, равен
$\phi(R) = \frac{Q}{4 \pi \epsilon_{0} R }$,
если считать, что на бесконечно большом расстоянии от этого заряда потенциал поля равен нулю. Отсюда следует, что разность потенциалов между первой и второй сферами при сделанных допущениях должна стать равной
$\phi (R_{1}) - \phi ( R_{2}) = \frac{q_{1}}{4 \pi \epsilon_{0} } \left ( \frac{1}{R_{1}} - \frac{1}{R_{2}} \right ) $,
а между второй и третьей -
$\phi (R_{2}) - \phi ( R_{3}) = \frac{q_{1} + q}{4 \pi \epsilon_{0} } \left ( \frac{1}{R_{2}} - \frac{1}{R_{3}} \right ) $,
С другой стороны, ток в соединительном проводнике, вызванный сообщением заряда $q$ второй сфере, прекратится, когда потенциалы первой и третьей сфер станут равными, т. е. когда будет выполнено условие $\phi (R_{1}) - \phi ( R_{2}) = \phi (R_{3}) - \phi (R_{2}) $. Из этого условия следует, что заряд первой сферы после установления равновесия должен быть равен
$q_{1} = q \frac{R_{1}}{R_{2}} \frac{R_{2} - R_{3}}{R_{3} - R_{1}}$,
и следовательно, искомое изменение потенциала второй сферы будет равно
$\Delta \phi = \phi (R_{2}) - 0 = \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \left [ \frac{q}{R_{3}} + (q_{1} + q) \left ( \frac{1}{R_{2}} - \frac{1}{R_{3}} \right ) \right ] = \frac{q}{4 \pi \epsilon_{0}R_{2}} \left ( 1 - \frac{R_{1} (R_{2} - R_{3})^{2} } { R_{2} R_{3} (R_{3} - R_{1}) } \right ) = \frac{5q}{48 \pi \epsilon_{0} R }$.
Первая и третья из трех тонких незаряженных концентрических металлических сфер соединены между собой тонким изолированным проводником, проходящим через малое отверстие во второй сфере. Сферы находятся в вакууме. Радиусы сфер равны $R_{1} = R, R_{2} = 2R, R_{3} = 4R$. Найти изменение потенциала второй сферы после сообщения ей заряда $q$.
Решение:
В исходном состоянии разность потенциалов между сферами равна нулю, т.к. из-за отсутствия зарядов на сферах электрическое поле между ними отсутствует. При сообщении второй сфере заряда q по проводнику, соединяющему первую и третью сферы, должен протечь заряд такой величины, чтобы потенциалы первой и третьей сфер вновь оказались равными. Поскольку проводник, соединяющий эти сферы, тонкий, можно пренебречь зарядами, находящимися на этом проводнике, и следовательно, пренебречь электрическим полем, порождаемым зарядами этого проводника. Далее, поскольку отверстие во второй сфере, через которое проходит названный проводник, мало, а центры сфер совпадают, можно считать, что силовые линии поля должны быть направлены вдоль радиусов сфер, т.е. картина силовых линий между ними и снаружи должна иметь такой же вид, как и от точечных зарядов, находящихся в центре сфер.
Если в результате перераспределения зарядов между первой и третьей сферами после сообщения заряда $q$ второй сфере заряд первой сферы (с учетом его знака) стал равным $q_{1}$, то напряженность поля между этими сферами в соответствии со сказанным должна быть равна
$\vec{E}(r) = \frac{ q_{1} \vec{r}}{4 \pi \epsilon_{0} r^{3}}$,
где $\epsilon_{0}$ — электрическая постоянная, а между второй и третьей сферами -
$\vec{E}_(r) = \frac{ (q_{1} + q) \vec{r} }{ 4 \pi \epsilon_{0} r^{3} }$.
Напомним, что разность потенциалов между двумя точками по определению равна отношению работы сил поля при перемещении пробного заряда из первой точки во вторую к величине этого заряда, а потенциал поля, создаваемого точечным зарядом $Q$ в вакууме на расстоянии $R$ от него, равен
$\phi(R) = \frac{Q}{4 \pi \epsilon_{0} R }$,
если считать, что на бесконечно большом расстоянии от этого заряда потенциал поля равен нулю. Отсюда следует, что разность потенциалов между первой и второй сферами при сделанных допущениях должна стать равной
$\phi (R_{1}) - \phi ( R_{2}) = \frac{q_{1}}{4 \pi \epsilon_{0} } \left ( \frac{1}{R_{1}} - \frac{1}{R_{2}} \right ) $,
а между второй и третьей -
$\phi (R_{2}) - \phi ( R_{3}) = \frac{q_{1} + q}{4 \pi \epsilon_{0} } \left ( \frac{1}{R_{2}} - \frac{1}{R_{3}} \right ) $,
С другой стороны, ток в соединительном проводнике, вызванный сообщением заряда $q$ второй сфере, прекратится, когда потенциалы первой и третьей сфер станут равными, т. е. когда будет выполнено условие $\phi (R_{1}) - \phi ( R_{2}) = \phi (R_{3}) - \phi (R_{2}) $. Из этого условия следует, что заряд первой сферы после установления равновесия должен быть равен
$q_{1} = q \frac{R_{1}}{R_{2}} \frac{R_{2} - R_{3}}{R_{3} - R_{1}}$,
и следовательно, искомое изменение потенциала второй сферы будет равно
$\Delta \phi = \phi (R_{2}) - 0 = \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \left [ \frac{q}{R_{3}} + (q_{1} + q) \left ( \frac{1}{R_{2}} - \frac{1}{R_{3}} \right ) \right ] = \frac{q}{4 \pi \epsilon_{0}R_{2}} \left ( 1 - \frac{R_{1} (R_{2} - R_{3})^{2} } { R_{2} R_{3} (R_{3} - R_{1}) } \right ) = \frac{5q}{48 \pi \epsilon_{0} R }$.
