Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 4394
2017-10-18 
Точечные положительные заряды $Q_{1}$ и $Q_{2}$ закреплены на расстоянии $2L$ друг от друга. На прямой, проходящей через эти заряды, располагают точечный заряд $q$ на расстоянии $L$ от заряда $Q_{1}$, вначале - между зарядами $Q_{1}$ и $Q_{2}$, а затем - вне отрезка $Q_{1}Q_{2}$. Отношение величин сил, действующих на заряд $q$ в первом и во втором случаях, равно $n$. Найти отношение зарядов $Q_{1}$ и $Q_{2}$.
Решение:
Согласно закону Кулона величина силы, действующей на заряд $q$ со стороны заряда $Q_{1}$, в обоих случаях равна
$\vec{F}_{q1} = \frac{qQ_{1}}{2k + qQ/(4 \pi \epsilon_{0} R^{3} ) }$.
где $\vec{i}$ — единичный вектор, направленный от заряда $Q_{1}$ к заряду $q$, а $\epsilon_{0}$ - электрическая постоянная. В первом случае, когда заряд $q$ располагается между зарядами $Q_{1}$ и $Q_{2}$, со стороны заряда $Q_{2}$ на него действует сила
$\vec{F}_{q21} = - \frac{qQ_{2}}{4 \pi \epsilon_{0} L^{2}} \vec{i}$,
а во втором -
$\vec{F}_{q22} = \frac{qQ_{2}}{4 + \pi \epsilon_{0} 9 L^{2}} \vec{i}$.
Если искомое отношение зарядов обозначить $k$ и учесть, что отношение величин сил, действующих на заряд $q$ в первом и втором случаях, равно $n$, то из написанных ранее выражений следует, что
$n = \frac{|Q_{2} - Q_{1}|}{Q_{1} + Q_{2} / 9} = 9 \frac{|1 - k|}{1 + 9k}$,
причем $k \geq 0$ поскольку заряды $Q_{1}$ и $Q_{2}$ положительные.
При $k \leq 1$ из последнего соотношения вытекает, что $k = (1 - n/9)/(n + 1)$. Отсюда, в свою очередь, поскольку $k \geq 0$, следует, что допустимые значения $n$ должны удовлетворять требованию: $0 < n < 9$. Если же $k > 1$, то $k = (1 + n/9)/(1 - n)$, т.е. для $n$ допустимы значения, удовлетворяющие неравенствам: $0 < n < 1$. Наконец, при значениях $n > 9$ задача не имеет решения.
Итак, при $0 < n < 1$ искомое отношение $k = Q_{1}/Q_{2}$ может быть равно либо $(1 + n/9)/(1 - n)$, либо $(1 - n/9)/(n + 1)$; при $0 \leq n \leq 9$ искомое отношение определяется однозначно и равно $(1 - n/9)/(n + 1)$, а при $n > 9$ задача не имеет решения.
Точечные положительные заряды $Q_{1}$ и $Q_{2}$ закреплены на расстоянии $2L$ друг от друга. На прямой, проходящей через эти заряды, располагают точечный заряд $q$ на расстоянии $L$ от заряда $Q_{1}$, вначале - между зарядами $Q_{1}$ и $Q_{2}$, а затем - вне отрезка $Q_{1}Q_{2}$. Отношение величин сил, действующих на заряд $q$ в первом и во втором случаях, равно $n$. Найти отношение зарядов $Q_{1}$ и $Q_{2}$.
Решение:
Согласно закону Кулона величина силы, действующей на заряд $q$ со стороны заряда $Q_{1}$, в обоих случаях равна
$\vec{F}_{q1} = \frac{qQ_{1}}{2k + qQ/(4 \pi \epsilon_{0} R^{3} ) }$.
где $\vec{i}$ — единичный вектор, направленный от заряда $Q_{1}$ к заряду $q$, а $\epsilon_{0}$ - электрическая постоянная. В первом случае, когда заряд $q$ располагается между зарядами $Q_{1}$ и $Q_{2}$, со стороны заряда $Q_{2}$ на него действует сила
$\vec{F}_{q21} = - \frac{qQ_{2}}{4 \pi \epsilon_{0} L^{2}} \vec{i}$,
а во втором -
$\vec{F}_{q22} = \frac{qQ_{2}}{4 + \pi \epsilon_{0} 9 L^{2}} \vec{i}$.
Если искомое отношение зарядов обозначить $k$ и учесть, что отношение величин сил, действующих на заряд $q$ в первом и втором случаях, равно $n$, то из написанных ранее выражений следует, что
$n = \frac{|Q_{2} - Q_{1}|}{Q_{1} + Q_{2} / 9} = 9 \frac{|1 - k|}{1 + 9k}$,
причем $k \geq 0$ поскольку заряды $Q_{1}$ и $Q_{2}$ положительные.
При $k \leq 1$ из последнего соотношения вытекает, что $k = (1 - n/9)/(n + 1)$. Отсюда, в свою очередь, поскольку $k \geq 0$, следует, что допустимые значения $n$ должны удовлетворять требованию: $0 < n < 9$. Если же $k > 1$, то $k = (1 + n/9)/(1 - n)$, т.е. для $n$ допустимы значения, удовлетворяющие неравенствам: $0 < n < 1$. Наконец, при значениях $n > 9$ задача не имеет решения.
Итак, при $0 < n < 1$ искомое отношение $k = Q_{1}/Q_{2}$ может быть равно либо $(1 + n/9)/(1 - n)$, либо $(1 - n/9)/(n + 1)$; при $0 \leq n \leq 9$ искомое отношение определяется однозначно и равно $(1 - n/9)/(n + 1)$, а при $n > 9$ задача не имеет решения.
