Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 4393
2017-10-18 
Тонкое проволочное кольцо радиуса $R$ закреплено так, что его плоскость вертикальна. Кольцо имеет заряд $Q$. Вдоль оси кольца расположена гладкая непроводящая спица, на которую надета бусинка массы $m$, имеющая заряд $- q$, противоположный по знаку заряду кольца. К бусинке с двух сторон прикреплены изолированные от нее одинаковые невесомые пружины жесткостью $k$ каждая, оси которых совпадают со спицей, а концы закреплены так, что в положении равновесия бусинка находится в центре кольца. Найти период малых колебаний бусинки.
Решение:
Поскольку оси пружин и спицы совпадают с осью кольца, и размерами бусинки, которая может перемещаться только по спице, как обычно, можно пренебречь, имеет место осевая симметрия в расположении тел. Поэтому можно считать, что по тонкому проводящему кольцу заряд Q распределен равномерно. Учитывая это и то, что в положении равновесия бусинка находится в центре кольца, можно утверждать, что при равновесном положении бусинки деформации одинаковых пружины должны быть одинаковы. Отсюда следует, что при смещении бусинки вдоль оси кольца на расстояние $x$ от равновесного положения равнодействующая сил упругих деформаций пружин $\vec{F}_{п}$ будет направлена к положению равновесия вдоль оси пружин, а по величине, согласно закону Гука, она должна быть равна $2kx$.
Наряду с силами упругих деформаций пружин, на бусинку при ее смещении от положения равновесия будут действовать электрические силы со стороны заряженного кольца. Чтобы определить величину и направление этих сил, рассмотрим часть дуги кольца, ограниченную центральным углом $\Delta \phi$, показанным на рисунке. При достаточно малой величине угла $\Delta \phi$ размерами указанного участка дуги кольца можно пренебречь. Учитывая, что заряд этого участка, согласно сказанному выше, должен быть равен $\Delta Q = Q \Delta \phi /(2 \pi)$, можно утверждать, что напряженность поля $\Delta \vec{E}$, создаваемого этим зарядом в точке, находящейся на оси на расстоянии х от центра кольца, будет направлена так, как показано на рисунке (считая, конечно, заряд кольца положительным), а ее величина должна быть равна
$\Delta E = \frac{Q \Delta \phi}{8 \pi^{2} \epsilon_{0} (R^{2} + x^{2})}$,
где $\epsilon_{0}$ - электрическая постоянная. Диаметрально противоположный участок кольца таких же размеров в рассматриваемой точке создает поле с напряженностью $\Delta \vec{E}_{1}$, составляющая которой, перпендикулярная оси ОХ, имеет ту же величину, но направлена противоположно аналогичной компоненте поля $\Delta \vec{E}$. Поэтому на основании принципа суперпозиции можно утверждать, что напряженность поля, создаваемого всем кольцом, направлена вдоль оси ОХ и равна
$E = \frac{Q \cos \alpha}{4 \pi \epsilon_{0} (R^{2} + x^{2})} = \frac{Qx}{ 4 \pi \epsilon_{0} \sqrt{(R^{2} + x^{2})^{3}}}$.
Отсюда, пренебрегая размерами бусинки, получаем, что электрическая сила, действующая на нее, в соответствии с определением напряженности электрического поля равна $F_{э} = qE$ и направлена вдоль оси к плоскости кольца, т.к. знаки зарядов кольца и бусинки противоположны.
Будем, как это обычно и делается, считать лабораторную систему отсчета, относительно которой кольцо неподвижно, инер-циальной и пренебрегать силами трения, действующими на движущиеся части. Тогда, пренебрегая в соответствии с условием массой пружин, на основании II закона Ньютона уравнение движения бусинки в проекции на ось ОХ можно представить в виде
$m \ddot{x} = - F_{п} - F_{э} = - \left ( 2k + \frac{qQ}{4 \pi \epsilon_{0} \sqrt{ (R^{2} + x^{2})^{3} }} \right )x$,
где $\ddot{x}$ - проекция ускорения бусинки на ось ОХ. Поскольку требуется определить период малых колебаний, то следует считать, что амплитуда колебаний бусинки много меньше радиуса кольца, а потому всегда должно соблюдаться неравенство $|x| \ll R$, и уравнение движения можно представить в виде
$m \ddot{x} = - \left ( 2k + \frac{qQ}{4 \pi \epsilon_{0} R^{3} } \right ) x$.
Из полученного уравнения видно, что ускорение бусинки прямо пропорционально ее смещению от положения равновесия и направлено к этому положению. Следовательно, после малого отклонения от положения равновесия бусинка будет совершать гармонические колебания. Вспоминая, что при прямолинейных гармонических колебаниях квадрат угловой частоты $\omega$ равен модулю отношения ускорения колеблющегося тела к его смещению от положения равновесия в тот же момент времени, а период колебаний обратно пропорционален угловой частоте, получим, что искомый период малых колебаний равен
$T = \frac{2 \pi}{ \omega} = 2 \pi \sqrt{ \frac{m}{2k + qQ / (4 \pi \epsilon_{0} R^{3}) }}$.
Тонкое проволочное кольцо радиуса $R$ закреплено так, что его плоскость вертикальна. Кольцо имеет заряд $Q$. Вдоль оси кольца расположена гладкая непроводящая спица, на которую надета бусинка массы $m$, имеющая заряд $- q$, противоположный по знаку заряду кольца. К бусинке с двух сторон прикреплены изолированные от нее одинаковые невесомые пружины жесткостью $k$ каждая, оси которых совпадают со спицей, а концы закреплены так, что в положении равновесия бусинка находится в центре кольца. Найти период малых колебаний бусинки.
Решение:
Поскольку оси пружин и спицы совпадают с осью кольца, и размерами бусинки, которая может перемещаться только по спице, как обычно, можно пренебречь, имеет место осевая симметрия в расположении тел. Поэтому можно считать, что по тонкому проводящему кольцу заряд Q распределен равномерно. Учитывая это и то, что в положении равновесия бусинка находится в центре кольца, можно утверждать, что при равновесном положении бусинки деформации одинаковых пружины должны быть одинаковы. Отсюда следует, что при смещении бусинки вдоль оси кольца на расстояние $x$ от равновесного положения равнодействующая сил упругих деформаций пружин $\vec{F}_{п}$ будет направлена к положению равновесия вдоль оси пружин, а по величине, согласно закону Гука, она должна быть равна $2kx$.
Наряду с силами упругих деформаций пружин, на бусинку при ее смещении от положения равновесия будут действовать электрические силы со стороны заряженного кольца. Чтобы определить величину и направление этих сил, рассмотрим часть дуги кольца, ограниченную центральным углом $\Delta \phi$, показанным на рисунке. При достаточно малой величине угла $\Delta \phi$ размерами указанного участка дуги кольца можно пренебречь. Учитывая, что заряд этого участка, согласно сказанному выше, должен быть равен $\Delta Q = Q \Delta \phi /(2 \pi)$, можно утверждать, что напряженность поля $\Delta \vec{E}$, создаваемого этим зарядом в точке, находящейся на оси на расстоянии х от центра кольца, будет направлена так, как показано на рисунке (считая, конечно, заряд кольца положительным), а ее величина должна быть равна
$\Delta E = \frac{Q \Delta \phi}{8 \pi^{2} \epsilon_{0} (R^{2} + x^{2})}$,
где $\epsilon_{0}$ - электрическая постоянная. Диаметрально противоположный участок кольца таких же размеров в рассматриваемой точке создает поле с напряженностью $\Delta \vec{E}_{1}$, составляющая которой, перпендикулярная оси ОХ, имеет ту же величину, но направлена противоположно аналогичной компоненте поля $\Delta \vec{E}$. Поэтому на основании принципа суперпозиции можно утверждать, что напряженность поля, создаваемого всем кольцом, направлена вдоль оси ОХ и равна
$E = \frac{Q \cos \alpha}{4 \pi \epsilon_{0} (R^{2} + x^{2})} = \frac{Qx}{ 4 \pi \epsilon_{0} \sqrt{(R^{2} + x^{2})^{3}}}$.
Отсюда, пренебрегая размерами бусинки, получаем, что электрическая сила, действующая на нее, в соответствии с определением напряженности электрического поля равна $F_{э} = qE$ и направлена вдоль оси к плоскости кольца, т.к. знаки зарядов кольца и бусинки противоположны.
Будем, как это обычно и делается, считать лабораторную систему отсчета, относительно которой кольцо неподвижно, инер-циальной и пренебрегать силами трения, действующими на движущиеся части. Тогда, пренебрегая в соответствии с условием массой пружин, на основании II закона Ньютона уравнение движения бусинки в проекции на ось ОХ можно представить в виде
$m \ddot{x} = - F_{п} - F_{э} = - \left ( 2k + \frac{qQ}{4 \pi \epsilon_{0} \sqrt{ (R^{2} + x^{2})^{3} }} \right )x$,
где $\ddot{x}$ - проекция ускорения бусинки на ось ОХ. Поскольку требуется определить период малых колебаний, то следует считать, что амплитуда колебаний бусинки много меньше радиуса кольца, а потому всегда должно соблюдаться неравенство $|x| \ll R$, и уравнение движения можно представить в виде
$m \ddot{x} = - \left ( 2k + \frac{qQ}{4 \pi \epsilon_{0} R^{3} } \right ) x$.
Из полученного уравнения видно, что ускорение бусинки прямо пропорционально ее смещению от положения равновесия и направлено к этому положению. Следовательно, после малого отклонения от положения равновесия бусинка будет совершать гармонические колебания. Вспоминая, что при прямолинейных гармонических колебаниях квадрат угловой частоты $\omega$ равен модулю отношения ускорения колеблющегося тела к его смещению от положения равновесия в тот же момент времени, а период колебаний обратно пропорционален угловой частоте, получим, что искомый период малых колебаний равен
$T = \frac{2 \pi}{ \omega} = 2 \pi \sqrt{ \frac{m}{2k + qQ / (4 \pi \epsilon_{0} R^{3}) }}$.
