2014-06-01
Тяжелая частица массой $M$ сталкивается с покоящейся легкой частицей массой $m$. На какой максимальный угол может отклониться тяжелая частица при ударе?
Решение:
Обозначим через $\bar{v}$ скорость тяжелой частицы до удара. В системе координат, движущейся со скоростью
$\bar{v}_{ц}=\frac{M}{M+m} \bar{v}$
центра масс системы, обе частицы как до столкновения, так и после столкновения имеют одинаковые по модулю и противоположные по направлению импульсы. До столкновения
$\bar{p}_{1}=M(\bar{v}-\bar{v}_{ц})=\frac{Mm}{M+m} \bar{v}$ и $\bar{p}_{2}=\bar{p}_{1}$
Если после столкновения частиц тяжелая частица в системе «центр масс» имеет импульс $\bar{v}$ (а легкая - импульс - $\bar{p}$), то, воспользовавшись связью
$W_{к}=\frac{Mv^{2}}{2}=\frac{p^{2}}{2m}$
и законом сохранения механической энергии при абсолютно упругом ударе, можно записать:
$\frac{p^{2}_{1}}{2M} + \frac{p^{2}_{1}}{2m} = \frac{p^{2}}{2M} + \frac{p^{2}}{2m}$
Отсюда следует, что $p=p_{1}$, т. е. после соударения частицы будут иметь о системе отсчета «центр масс» такие же по модулю импульсы, как и до столкновения. Направление вектора $\bar{p}$ зависит от условий столкновения и может быть произвольным.
Скорость тяжелой частицы в «лабораторной» системе отсчета будет после столкновения равна
$\bar{v}_{1} = \bar{v}_{ц} + \frac{\bar{p}}{M}$
а ее импульс
$\bar{p}^{\prime}_{1}=M \bar{v}_{1}=M \bar{v}_{ц} + \bar{p}$
Геометрическая интерпретация этого результата представлена на рисунке. Так как
импульс $\bar{p}$ может иметь любое направление, но модуль его задан и равен $\frac{Mm}{M+m}v$, то конец вектора $\bar{p}$ должен лежать на окружности радиуса $\frac{Mm}{M+m} \bar{v}$, центр которой совпадает с концом вектора $M \bar{v}_{ц}$. Из рисунка видно, что угол между вектором $\bar{p}$ и вектором $M \bar{v}_{ц}$, т. е. угол между направлениями полета тяжелой частицы после удара и
до удара максимален, когда вектор $\bar{p}^{\prime}_{1}$ касается указанной окружности. Поэтому
$\sin \alpha_{max} = \frac{p}{Mv_{ц}} = \frac{m}{M}$