Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 4389
2017-10-18 
Идеальный одноатомный газ нагревают так, что его давление, изменяясь пропорционально квадратному корню из абсолютной температуры ($p \sim \sqrt{T}$), возрастает в $n$ раз. Затем газ охлаждают, при этом его давление уменьшается пропорционально температуре ($p \sim T$) до начального. После этого газ изобарически возвращают в исходное состояние. Найти КПД теплового двигателя, работающего по такому циклу.
Решение:
КПД теплового двигателя по определению равен:
$\eta = A/Q$,
где $A$ — работа, совершенная рабочим веществом двигателя за цикл, a $Q$ - количество теплоты, полученное от нагревателя за то же время. Из условия задачи следует, что при нагревании зависимость давления газа $p$ от его абсолютной температуры можно представить в виде $p^{ 2} = \alpha T$, где $a$ - некоторая постоянная величина. Отсюда согласно уравнению Клапейрона-Менделеева следует, что объем газа должен возрастать пропорционально его давлению по закону V = v R р/сх, где v - число молей газа, a R — универсальная газовая постоянная. Учитывая, что после нагревания газ охлаждают так, что его давление изменяется пропорционально температуре, в соответствии с уравнением Клапейрона-Менделеева можно утверждать, что на этом участке объем газа остается неизменным. На последнем участке газ возвращают в исходное состояние путем изобарического сжатия. Из сказанного следует, что рабочий цикл двигателя на $pV$-диаграм-ме должен иметь вид, показанный на рисунке. С учетом использованных на рисунке обозначений работа газа за один цикл
$A = (p_{2} - p_{1})(V_{2} - V_{1})/2 = p_{1}^{2} (n - l)^{2} \nu R/(2 \alpha)$,
т.к. по условию $p_{2} = np_{1}$.
При изохорическом и последующем изобарическом сжатии внутренняя энергия газа уменьшается. Кроме того, на последнем этапе над газом совершают работу. Поэтому, согласно I началу термодинамики на этих участках газ должен отдавать тепло. Таким образом, газ получает тепло только на первом участке цикла, как и показано на $pV$-диаграмме сплошной стрелкой.
Воспользовавшись формулой для расчета площади трапеции, вычислим работу газа на этом участке
$A_{1} = \frac{(p_{1} + p_{2}) (V_{2} - V_{1})}{2} = \frac{ \nu R p_{1}^{2} (n^{2} - 1) }{2 \alpha}$.
Если температуру газа в начале и конце первого участка обозначить $T_{1}$ и $T_{2}$ то вспоминая, что изохорическая молярная теплоемкость одноатомного идеального газа равна $1,5R$, найдем приращение внутренней энергии газа при нагревании
$\Delta W_{1} = 1,5 \nu R(T_{2} - T_{1}) = l,5 \nu R p_{1}^{2} (n^{2} - l)/ \alpha$.
Отсюда в соответствии с I началом термодинамики следует, что полученное газом за цикл тепло должно быть равно
$Q = \Delta W_{1} + A_{1} = 2 \nu R p_{1}^{2} (n^{2} - 1)/ \alpha$.
Таким образом, искомый КПД двигателя равен
$\eta = \frac{A}{Q} = \frac{n-1}{4(n+1)}$.
Идеальный одноатомный газ нагревают так, что его давление, изменяясь пропорционально квадратному корню из абсолютной температуры ($p \sim \sqrt{T}$), возрастает в $n$ раз. Затем газ охлаждают, при этом его давление уменьшается пропорционально температуре ($p \sim T$) до начального. После этого газ изобарически возвращают в исходное состояние. Найти КПД теплового двигателя, работающего по такому циклу.
Решение:
КПД теплового двигателя по определению равен:
$\eta = A/Q$,
где $A$ — работа, совершенная рабочим веществом двигателя за цикл, a $Q$ - количество теплоты, полученное от нагревателя за то же время. Из условия задачи следует, что при нагревании зависимость давления газа $p$ от его абсолютной температуры можно представить в виде $p^{ 2} = \alpha T$, где $a$ - некоторая постоянная величина. Отсюда согласно уравнению Клапейрона-Менделеева следует, что объем газа должен возрастать пропорционально его давлению по закону V = v R р/сх, где v - число молей газа, a R — универсальная газовая постоянная. Учитывая, что после нагревания газ охлаждают так, что его давление изменяется пропорционально температуре, в соответствии с уравнением Клапейрона-Менделеева можно утверждать, что на этом участке объем газа остается неизменным. На последнем участке газ возвращают в исходное состояние путем изобарического сжатия. Из сказанного следует, что рабочий цикл двигателя на $pV$-диаграм-ме должен иметь вид, показанный на рисунке. С учетом использованных на рисунке обозначений работа газа за один цикл
$A = (p_{2} - p_{1})(V_{2} - V_{1})/2 = p_{1}^{2} (n - l)^{2} \nu R/(2 \alpha)$,
т.к. по условию $p_{2} = np_{1}$.
При изохорическом и последующем изобарическом сжатии внутренняя энергия газа уменьшается. Кроме того, на последнем этапе над газом совершают работу. Поэтому, согласно I началу термодинамики на этих участках газ должен отдавать тепло. Таким образом, газ получает тепло только на первом участке цикла, как и показано на $pV$-диаграмме сплошной стрелкой.
Воспользовавшись формулой для расчета площади трапеции, вычислим работу газа на этом участке
$A_{1} = \frac{(p_{1} + p_{2}) (V_{2} - V_{1})}{2} = \frac{ \nu R p_{1}^{2} (n^{2} - 1) }{2 \alpha}$.
Если температуру газа в начале и конце первого участка обозначить $T_{1}$ и $T_{2}$ то вспоминая, что изохорическая молярная теплоемкость одноатомного идеального газа равна $1,5R$, найдем приращение внутренней энергии газа при нагревании
$\Delta W_{1} = 1,5 \nu R(T_{2} - T_{1}) = l,5 \nu R p_{1}^{2} (n^{2} - l)/ \alpha$.
Отсюда в соответствии с I началом термодинамики следует, что полученное газом за цикл тепло должно быть равно
$Q = \Delta W_{1} + A_{1} = 2 \nu R p_{1}^{2} (n^{2} - 1)/ \alpha$.
Таким образом, искомый КПД двигателя равен
$\eta = \frac{A}{Q} = \frac{n-1}{4(n+1)}$.
