Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 4378
2017-10-18 
К доске массы $M$, лежащей на гладком горизонтальном столе, прикреплены две легкие одинаковые растянутые пружины, другие концы которых прикреплены к вертикальным стенкам так, что их оси горизонтальны, совпадают и проходят через центр масс доски. На доску поставили кубик массы $m$ так, что его центр находится над центром масс доски. На сколько можно сместить доску вдоль оси пружин, чтобы после ее отпускания кубик совершал гармонические колебания, если жесткость каждой пружины равна $k$, а коэффициент трения кубика о доску равен $m$?
Решение:
Поскольку оси пружин параллельны гладкой горизонтальной поверхности стола, совпадают между собой и проходят через центр масс доски, центр масс кубика располагается над центром масс доски, а доску смещают от положения равновесия вдоль оси пружин, можно считать, что после ее отпускания доска и кубик будут двигаться поступательно. Принимая лабораторную систему отсчета, ось ОХ которой совпадает с осью пружин, а начало отсчета - с положением центра масс доски при равновесии, за инерциальную, считая толщину доски постоянной, уравнения движения доски и кубика на основании II закона Ньютона можно записать в следующем виде
$M \ddot{X} = -2kX - F_{тр}, m \ddot{x} = F_{тр}$.
Здесь $X$ и $\ddot{X}$ - координата и проекция ускорения доски на ось $OX, \ddot{X}$ - проекция ускорения кубика на указанную ось, а $F_{тр}$ — величина силы трения между доской и кубиком. При составлении уравнения движения доски считалось, что при всех допустимых деформациях силы, действующие на доску со стороны пружин, подчиняются закону Гука. Кроме того, мы пренебрегли силами трения, действующими на движущиеся тела со стороны окружающей их среды, т.к. в противном случае, очевидно, движение доски и кубика не могло бы быть гармоническим.
Поскольку в момент отпускания доски кубик неподвижен относительно нее, а в дальнейшем он должен совершать гармонические колебания, работа сил трения к любому последующему моменту времени должна быть равна нулю. Это возможно лишь в том случае, когда силы трения являются силами трения покоя. Следовательно, в интересующем случае ускорения кубика и доски должны быть одинаковыми, т.е. $\ddot{X} = \ddot{x}$. Учитывая, что максимальная величина силы сухого трения покоя равна произведению коэффициента трения на величину нормальной составляющей силы реакции опоры, т.е. в данном случае равна $\mu mg$, где $g$ — величина ускорения свободного падения, из написанных выше уравнений следует, что
$|F_{тр}| = \frac{|2kX|m}{m + M} \leq \mu mg$,
а искомая величина смещения доски должна удовлетворять неравенству
$|X| \leq \frac{ \mu g (m + M)}{2k}$.
К доске массы $M$, лежащей на гладком горизонтальном столе, прикреплены две легкие одинаковые растянутые пружины, другие концы которых прикреплены к вертикальным стенкам так, что их оси горизонтальны, совпадают и проходят через центр масс доски. На доску поставили кубик массы $m$ так, что его центр находится над центром масс доски. На сколько можно сместить доску вдоль оси пружин, чтобы после ее отпускания кубик совершал гармонические колебания, если жесткость каждой пружины равна $k$, а коэффициент трения кубика о доску равен $m$?
Решение:
Поскольку оси пружин параллельны гладкой горизонтальной поверхности стола, совпадают между собой и проходят через центр масс доски, центр масс кубика располагается над центром масс доски, а доску смещают от положения равновесия вдоль оси пружин, можно считать, что после ее отпускания доска и кубик будут двигаться поступательно. Принимая лабораторную систему отсчета, ось ОХ которой совпадает с осью пружин, а начало отсчета - с положением центра масс доски при равновесии, за инерциальную, считая толщину доски постоянной, уравнения движения доски и кубика на основании II закона Ньютона можно записать в следующем виде
$M \ddot{X} = -2kX - F_{тр}, m \ddot{x} = F_{тр}$.
Здесь $X$ и $\ddot{X}$ - координата и проекция ускорения доски на ось $OX, \ddot{X}$ - проекция ускорения кубика на указанную ось, а $F_{тр}$ — величина силы трения между доской и кубиком. При составлении уравнения движения доски считалось, что при всех допустимых деформациях силы, действующие на доску со стороны пружин, подчиняются закону Гука. Кроме того, мы пренебрегли силами трения, действующими на движущиеся тела со стороны окружающей их среды, т.к. в противном случае, очевидно, движение доски и кубика не могло бы быть гармоническим.
Поскольку в момент отпускания доски кубик неподвижен относительно нее, а в дальнейшем он должен совершать гармонические колебания, работа сил трения к любому последующему моменту времени должна быть равна нулю. Это возможно лишь в том случае, когда силы трения являются силами трения покоя. Следовательно, в интересующем случае ускорения кубика и доски должны быть одинаковыми, т.е. $\ddot{X} = \ddot{x}$. Учитывая, что максимальная величина силы сухого трения покоя равна произведению коэффициента трения на величину нормальной составляющей силы реакции опоры, т.е. в данном случае равна $\mu mg$, где $g$ — величина ускорения свободного падения, из написанных выше уравнений следует, что
$|F_{тр}| = \frac{|2kX|m}{m + M} \leq \mu mg$,
а искомая величина смещения доски должна удовлетворять неравенству
$|X| \leq \frac{ \mu g (m + M)}{2k}$.
