Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 4377
2017-10-18 
Груз массы $m$ подвешен к потолку на трех невесомых пружинах так, что в положении равновесия оси всех пружин лежат в одной вертикальной плоскости, ось средней пружины жесткостью $k_{1}$ вертикальна, а оси двух крайних пружин жесткостью $k_{2}$ каждая образуют с осью средней пружины углы $\alpha$. Найти период малых вертикальных колебаний груза.
Решение:
Будем решать задачу в лабораторной системе отсчета, ось ОХ которой направлена вертикально вниз, а начало отсчета - точка 0 — совпадает с положением точки крепления пружин при равновесии груза. Если груз переместится вниз на небольшое расстояние $x$, то оси крайних пружин займут положение, показанное на рисунке пунктирной линией. Поскольку смещение груза от положения равновесия мало, можно считать, что удлинение крайних пружин будет равно $x \cos \alpha$, а действующая со стороны каждой из крайних пружин сила будет направлена вверх под углом $\alpha$ к вертикали и увеличится на величину $F_{2} = k_{2} x \cos \alpha$. Действующая же на груз сила со стороны средней пружины увеличится на величину $F_{1} = k_{1}x$. Пренебрегая, как это обычно и делается в подобных задачах, силами трения и считая выбранную лабораторную систему инерциальной, на основании сказанного выше и II закона Ньютона уравнение движения груза с учетом невесомости пружин можно представить в виде
$m \ddot{x} = -k_{1}x -2k_{2}x \cos^{2} \alpha$.
Из этого уравнения видно, что ускорение груза $\ddot{x}$ пропорционально его смещению от положения равновесия и направлено в сторону, противоположную смещению. Поэтому при сделанных допущениях вертикальные колебания груза должны быть гармоническими. Учитывая, что при таких колебаниях квадрат угловой частоты $\omega$ равен модулю отношения ускорения груза к его смещению от положения равновесия, а произведение угловой частоты и периода колебаний равно $2 \pi$, вычислим искомый период малых вертикальных колебаний груза:
$T = \frac{2 \pi }{ \omega} = 2 \pi \sqrt{ \frac{m}{ k_{1} + 2 k_{2} \cos^{2} \alpha}}$.
Груз массы $m$ подвешен к потолку на трех невесомых пружинах так, что в положении равновесия оси всех пружин лежат в одной вертикальной плоскости, ось средней пружины жесткостью $k_{1}$ вертикальна, а оси двух крайних пружин жесткостью $k_{2}$ каждая образуют с осью средней пружины углы $\alpha$. Найти период малых вертикальных колебаний груза.
Решение:
Будем решать задачу в лабораторной системе отсчета, ось ОХ которой направлена вертикально вниз, а начало отсчета - точка 0 — совпадает с положением точки крепления пружин при равновесии груза. Если груз переместится вниз на небольшое расстояние $x$, то оси крайних пружин займут положение, показанное на рисунке пунктирной линией. Поскольку смещение груза от положения равновесия мало, можно считать, что удлинение крайних пружин будет равно $x \cos \alpha$, а действующая со стороны каждой из крайних пружин сила будет направлена вверх под углом $\alpha$ к вертикали и увеличится на величину $F_{2} = k_{2} x \cos \alpha$. Действующая же на груз сила со стороны средней пружины увеличится на величину $F_{1} = k_{1}x$. Пренебрегая, как это обычно и делается в подобных задачах, силами трения и считая выбранную лабораторную систему инерциальной, на основании сказанного выше и II закона Ньютона уравнение движения груза с учетом невесомости пружин можно представить в виде
$m \ddot{x} = -k_{1}x -2k_{2}x \cos^{2} \alpha$.
Из этого уравнения видно, что ускорение груза $\ddot{x}$ пропорционально его смещению от положения равновесия и направлено в сторону, противоположную смещению. Поэтому при сделанных допущениях вертикальные колебания груза должны быть гармоническими. Учитывая, что при таких колебаниях квадрат угловой частоты $\omega$ равен модулю отношения ускорения груза к его смещению от положения равновесия, а произведение угловой частоты и периода колебаний равно $2 \pi$, вычислим искомый период малых вертикальных колебаний груза:
$T = \frac{2 \pi }{ \omega} = 2 \pi \sqrt{ \frac{m}{ k_{1} + 2 k_{2} \cos^{2} \alpha}}$.
