Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 4376
2017-10-18 
В цилиндре с площадью поперечного сечения $S$ под поршнем массы m находится $\nu$ молей идеального газа при температуре $T$. Поршень связан легкой нерастяжимой нитью, перекинутой через невесомый блок, с бруском той же массы, находящимся на наклонной плоскости, составляющей угол а с горизонтом. Найти частоту малых колебаний бруска при постоянной температуре газа. Трение отсутствует. Атмосферное давление равно $p_{a}$.
Решение:
Если, как обычно, считать, что наклонная плоскость покоится относительно некоторой инерциальной системы отсчета, то в положении равновесия, во-первых, сила натяжения нити, действующая на поршень, должна уравновешивать действие силы тяжести, силы атмосферного давления, силы давления газа и силы реакции стенок цилиндра на поршень. Во-вторых, должна быть равна нулю геометрическая сумма сил реакции наклонной плоскости, натяжения нити и тяжести, действующих на брусок. Поскольку сил трения нет и нить невесома, то сила натяжения не может изменять своей величины вдоль нити, и поэтому должны выполняться соотношения:
$mg + Sp_{a} = F_{p} + Sp_{гр}, mg \sin \alpha = F_{p}$,
где $g$ - величина ускорения свободного падения, $p_{гр}$ - давление газа в цилиндре, a $F_{p}$ - модуль силы натяжения нити при равновесии. При составлении этих уравнений в соответствии с рисунком, приведенным в условии задачи, считалось, что отрезок нити между блоком и поршнем вертикален, а между блоком и бруском — параллелен наклонной плоскости. Кроме того, было учтено, что силы натяжения нити, действующие на поршень и брусок, могут быть направлены только вверх вдоль осей соответствующих отрезков нити.
Если расстояние между дном поршня и дном цилиндра при равновесии обозначить $L$, то из уравнения Клапейрона-Менделеева следует, что давление газа под поршнем в рассматриваемом состоянии должно быть равно
$p_{гр} = \frac{vRT}{SL}$.
При смещении поршня от равновесного положения вниз по вертикали на расстояние $x$ давление в цилиндре должно увеличиться до величины
$p = \frac{vRT}{S(L - x)}$
и, следовательно, поршень должен иметь ускорение, направленное вертикально вверх и равное
$a = S(p - p_{a})/m - g + F/m$,
где $F$ - величина силы натяжения нити, действующей на поршень в рассматриваемый момент времени. По условию блок невесом. Поэтому (с учетом ранее сделанных предположений) можно считать, что и на брусок нить в указанный момент времени будет действовать с силой, величина которой равна $F$, а ускорение бруска на основании II закона Ньютона должно быть равно по модулю
$a_{б} = g \sin \alpha - F/m$
и направлено вниз вдоль наклонной плоскости. С другой стороны, в силу нерастяжимости нити и стандартных предположений о геометрии блока можно утверждать, что $a = a_{б}$, т.к. при малых колебаниях нить должна быть натянута.
Складывая почленно два последних уравнения и выражая из ранее составленных уравнений давление газа через положение поршня, получим
$2ma = \frac{vRT}{L(L - x)} x$.
Из этого соотношения видно, что при малых смещениях ($x \ll L$) ускорение поршня пропорционально величине смещения и направлено противоположно этому смещению. Поэтому можно утверждать, что в рассматриваемой системе малые колебания бруска вблизи положения равновесия будут гармоническими, а искомая угловая частота этих колебаний должна быть равна
$\omega = \frac{p_{a}S + mg(1 - \sin \alpha)}{ \sqrt{2mvRT}}$,
т.к. при гармонических колебаниях отношение величины смещения к модулю проекции ускорения на направление смещения обратно пропорционально квадрату угловой частоты колебаний, а из первых трех уравнений следует, что
$L = \frac{vRT}{p_{a}S + mg( 1 - \sin \alpha)}$.
В заключение отметим, что колебания в данном случае следует считать малыми, если не только амплитуда $x_{m}$ смещений бруска и поршня от положения равновесия много меньше высоты $L$ столба газа в цилиндре при равновесии, но и $\omega^{2} x_{m} < g \sin \alpha$.
В цилиндре с площадью поперечного сечения $S$ под поршнем массы m находится $\nu$ молей идеального газа при температуре $T$. Поршень связан легкой нерастяжимой нитью, перекинутой через невесомый блок, с бруском той же массы, находящимся на наклонной плоскости, составляющей угол а с горизонтом. Найти частоту малых колебаний бруска при постоянной температуре газа. Трение отсутствует. Атмосферное давление равно $p_{a}$.
Решение:
Если, как обычно, считать, что наклонная плоскость покоится относительно некоторой инерциальной системы отсчета, то в положении равновесия, во-первых, сила натяжения нити, действующая на поршень, должна уравновешивать действие силы тяжести, силы атмосферного давления, силы давления газа и силы реакции стенок цилиндра на поршень. Во-вторых, должна быть равна нулю геометрическая сумма сил реакции наклонной плоскости, натяжения нити и тяжести, действующих на брусок. Поскольку сил трения нет и нить невесома, то сила натяжения не может изменять своей величины вдоль нити, и поэтому должны выполняться соотношения:
$mg + Sp_{a} = F_{p} + Sp_{гр}, mg \sin \alpha = F_{p}$,
где $g$ - величина ускорения свободного падения, $p_{гр}$ - давление газа в цилиндре, a $F_{p}$ - модуль силы натяжения нити при равновесии. При составлении этих уравнений в соответствии с рисунком, приведенным в условии задачи, считалось, что отрезок нити между блоком и поршнем вертикален, а между блоком и бруском — параллелен наклонной плоскости. Кроме того, было учтено, что силы натяжения нити, действующие на поршень и брусок, могут быть направлены только вверх вдоль осей соответствующих отрезков нити.
Если расстояние между дном поршня и дном цилиндра при равновесии обозначить $L$, то из уравнения Клапейрона-Менделеева следует, что давление газа под поршнем в рассматриваемом состоянии должно быть равно
$p_{гр} = \frac{vRT}{SL}$.
При смещении поршня от равновесного положения вниз по вертикали на расстояние $x$ давление в цилиндре должно увеличиться до величины
$p = \frac{vRT}{S(L - x)}$
и, следовательно, поршень должен иметь ускорение, направленное вертикально вверх и равное
$a = S(p - p_{a})/m - g + F/m$,
где $F$ - величина силы натяжения нити, действующей на поршень в рассматриваемый момент времени. По условию блок невесом. Поэтому (с учетом ранее сделанных предположений) можно считать, что и на брусок нить в указанный момент времени будет действовать с силой, величина которой равна $F$, а ускорение бруска на основании II закона Ньютона должно быть равно по модулю
$a_{б} = g \sin \alpha - F/m$
и направлено вниз вдоль наклонной плоскости. С другой стороны, в силу нерастяжимости нити и стандартных предположений о геометрии блока можно утверждать, что $a = a_{б}$, т.к. при малых колебаниях нить должна быть натянута.
Складывая почленно два последних уравнения и выражая из ранее составленных уравнений давление газа через положение поршня, получим
$2ma = \frac{vRT}{L(L - x)} x$.
Из этого соотношения видно, что при малых смещениях ($x \ll L$) ускорение поршня пропорционально величине смещения и направлено противоположно этому смещению. Поэтому можно утверждать, что в рассматриваемой системе малые колебания бруска вблизи положения равновесия будут гармоническими, а искомая угловая частота этих колебаний должна быть равна
$\omega = \frac{p_{a}S + mg(1 - \sin \alpha)}{ \sqrt{2mvRT}}$,
т.к. при гармонических колебаниях отношение величины смещения к модулю проекции ускорения на направление смещения обратно пропорционально квадрату угловой частоты колебаний, а из первых трех уравнений следует, что
$L = \frac{vRT}{p_{a}S + mg( 1 - \sin \alpha)}$.
В заключение отметим, что колебания в данном случае следует считать малыми, если не только амплитуда $x_{m}$ смещений бруска и поршня от положения равновесия много меньше высоты $L$ столба газа в цилиндре при равновесии, но и $\omega^{2} x_{m} < g \sin \alpha$.
