Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 4374
2017-10-18 
Из тонкого резинового шнура массы $m$ жесткостью $k$ изготовили кольцо радиуса $r$. Кольцо медленно раскручивают вокруг его оси. Найти радиус кольца при угловой скорости его вращения $\omega < 2 \pi \sqrt{k/m}$.
Решение:
Из кинематики известно, что ускорение движущейся по окружности радиуса $R$ точки в общем случае можно представить в виде суммы двух компонент: компоненты $\vec{a}_{п}$, направленной по радиусу окружности к ее центру, называемой нормальным или центростремительным ускорением, и компоненты $\vec{a}_{ \tau}$, направленной по касательной к окружности (тангенциальное ускорение). Поскольку угловая скорость точек кольца по условию изменяется медленно, то тангенциальной компонентой ускорения, существовавшей при раскручивании кольца, в момент времени, когда угловая скорость стала равной $\omega$, следует пренебречь. Поэтому в данный момент будем пренебрегать и силами, действующими на кольцо со стороны окружающих тел.
Поскольку кольцо по условию является тонким и вращается вокруг своей оси, можно считать, что все точки шнура находятся на одинаковом расстоянии от оси вращения и, следовательно, имеют одинаковое нормальное ускорение $a_{n} = \omega^{2}R$. Это ускорение при сделанных предположениях могут обеспечить лишь силы натяжения, возникающие при увеличении радиуса кольца. На рисунке показан участок вращающегося кольца, ограниченный радиусами $R$, образующими малый угол $\Delta \alpha$, и силы $\vec{F}$, действующие на него со стороны соседних участков.
Согласно закону Гука, величина силы натяжения равна $F = 2 \pi k (R - r)$. Учитывая, что силы натяжения, действующие на концы рассматриваемого участка кольца, направлены перпендикулярно соответствующим радиусам, их результирующая равна $F \sin \Delta \alpha \approx F \Delta \alpha$ и направлена к оси вращения. Поэтому на основании II закона Ньютона можно утверждать, что
$F \Delta \alpha = m \omega^{2} R \Delta \alpha /( 2 \pi )$,
т.к. рассматриваемый участок кольца можно в силу малости угла $\Delta \alpha$ принять за материальную точку с массой $mR \Delta \alpha /(2 \pi)$.
Из написанных соотношений следует, что при сделанных предположениях искомый радиус кольца при заданной угловой скорости вращения должен быть равен
$R = \frac{4 \pi^{2} kr}{4 \pi^{2}k - m \omega^{2}}$.
Из полученного выражения видно, что при увеличении угловой скорости вращения до $\omega_{кр} = 2 \pi \sqrt{k/m}$ радиус кольца должен неограниченно возрастать, т.е. кольцо должно разорваться.
Из тонкого резинового шнура массы $m$ жесткостью $k$ изготовили кольцо радиуса $r$. Кольцо медленно раскручивают вокруг его оси. Найти радиус кольца при угловой скорости его вращения $\omega < 2 \pi \sqrt{k/m}$.
Решение:
Из кинематики известно, что ускорение движущейся по окружности радиуса $R$ точки в общем случае можно представить в виде суммы двух компонент: компоненты $\vec{a}_{п}$, направленной по радиусу окружности к ее центру, называемой нормальным или центростремительным ускорением, и компоненты $\vec{a}_{ \tau}$, направленной по касательной к окружности (тангенциальное ускорение). Поскольку угловая скорость точек кольца по условию изменяется медленно, то тангенциальной компонентой ускорения, существовавшей при раскручивании кольца, в момент времени, когда угловая скорость стала равной $\omega$, следует пренебречь. Поэтому в данный момент будем пренебрегать и силами, действующими на кольцо со стороны окружающих тел.
Поскольку кольцо по условию является тонким и вращается вокруг своей оси, можно считать, что все точки шнура находятся на одинаковом расстоянии от оси вращения и, следовательно, имеют одинаковое нормальное ускорение $a_{n} = \omega^{2}R$. Это ускорение при сделанных предположениях могут обеспечить лишь силы натяжения, возникающие при увеличении радиуса кольца. На рисунке показан участок вращающегося кольца, ограниченный радиусами $R$, образующими малый угол $\Delta \alpha$, и силы $\vec{F}$, действующие на него со стороны соседних участков.
Согласно закону Гука, величина силы натяжения равна $F = 2 \pi k (R - r)$. Учитывая, что силы натяжения, действующие на концы рассматриваемого участка кольца, направлены перпендикулярно соответствующим радиусам, их результирующая равна $F \sin \Delta \alpha \approx F \Delta \alpha$ и направлена к оси вращения. Поэтому на основании II закона Ньютона можно утверждать, что
$F \Delta \alpha = m \omega^{2} R \Delta \alpha /( 2 \pi )$,
т.к. рассматриваемый участок кольца можно в силу малости угла $\Delta \alpha$ принять за материальную точку с массой $mR \Delta \alpha /(2 \pi)$.
Из написанных соотношений следует, что при сделанных предположениях искомый радиус кольца при заданной угловой скорости вращения должен быть равен
$R = \frac{4 \pi^{2} kr}{4 \pi^{2}k - m \omega^{2}}$.
Из полученного выражения видно, что при увеличении угловой скорости вращения до $\omega_{кр} = 2 \pi \sqrt{k/m}$ радиус кольца должен неограниченно возрастать, т.е. кольцо должно разорваться.
