Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 4371
2017-10-18 
На гладкой горизонтальной плоскости лежит доска массы $M$. На конец доски кладут шайбу массы $m$, которой ударом сообщают скорость $v$ вдоль доски к ее противоположному концу. Коэффициент трения шайбы о доску равен $\mu$. На какое расстояние от исходного положения переместится по доске шайба, если известно, что шайба не соскальзывает с доски?
Решение:
Как обычно, при решении данной задачи будем считать, что из-за малой длительности удара изменением положения и скорости доски, как и изменением положения шайбы, за время удара можно пренебречь. Будем пренебрегать и действием на доску и шайбу всех сил, за исключением сил тяжести и силы реакции плоскости, по которой может двигаться доска. Лабораторную систему, неподвижную относительно указанной плоскости, будем считать инерциальной, а возникшее в результате удара движение шайбы - поступательным. Кроме того, будем считать, что толщина доски постоянна, и, следовательно, шайба может двигаться лишь горизонтально.
Поскольку плоскость является гладкой горизонтальной, то сила ее реакции может быть направлена только вертикально. Вертикально же направлены и силы тяжести. Поэтому согласно закону сохранения импульса горизонтальная составляющая импульса системы "шайба - доска" после удара изменяться не может. В силу сделанных предположений импульс рассматриваемой системы сразу после удара должен быть равен импульсу шайбы, а после прекращения скольжения шайба и доска должны двигаться поступательно с такой скоростью $v_{к}$, что
$(m + M)v_{к} = mv$.
При скольжении на шайбу и доску действуют силы сухого трения. При сделанных предположениях величина этих сил, в соответствии с законом сухого трения, равна $\mu mg$, где $g$ - величина ускорения свободного падения, причем направление силы трения, действующей на доску, совпадает с направлением движения доски, а на шайбу ~ противоположно направлению ее движения. Поэтому при наличии скольжения работа сил трения над доской к тому моменту, когда она переместилась от своего исходного положения на расстояние $L$, равна $A_{тр.д.} = \mu mg L > 0$, работа же сил трения над шайбой $A_{тр.ш.} = - \mu mg (L + x) < 0$, где $L$ — перемещение доски относительно выбранной системы отсчета с момента начала движения, а $x$- перемещение шайбы относительно доски за тот же промежуток времени. За счет работы сил трения скорость доски увеличивается, а шайбы - уменьшается. Как только скорости доски и шайбы становятся одинаковыми, шайба перестает скользить по доске, и действие сил трения прекращается. Учитывая, что работа сил тяжести над телами системы равна нулю (направление этих сил перпендикулярно перемещениям тел) и что при сделанных предположениях кинетическая энергия рассматриваемых тел сразу после удара в выбранной системе отсчета равна кинетической энергии шайбы, а после прекращения скольжения — кинетической энергии шайбы и доски, на основании закона изменения механической энергии можно утверждать, что
$\frac{mv^{2}}{2} = \frac{(m+M)v_{к}^{2}}{2} + \mu mg x_{к}$,
где $x_{к}$ - перемещение шайбы относительно доски за время действия сил трения скольжения. Отсюда с учетом соотношения между начальной и конечной скоростями шайбы найдем, что искомое перемещение в рамках сделанных предположений должно быть равно
$x_{к} = \frac{Mv^{2}}{2 \mu g (m + M)}$.
На гладкой горизонтальной плоскости лежит доска массы $M$. На конец доски кладут шайбу массы $m$, которой ударом сообщают скорость $v$ вдоль доски к ее противоположному концу. Коэффициент трения шайбы о доску равен $\mu$. На какое расстояние от исходного положения переместится по доске шайба, если известно, что шайба не соскальзывает с доски?
Решение:
Как обычно, при решении данной задачи будем считать, что из-за малой длительности удара изменением положения и скорости доски, как и изменением положения шайбы, за время удара можно пренебречь. Будем пренебрегать и действием на доску и шайбу всех сил, за исключением сил тяжести и силы реакции плоскости, по которой может двигаться доска. Лабораторную систему, неподвижную относительно указанной плоскости, будем считать инерциальной, а возникшее в результате удара движение шайбы - поступательным. Кроме того, будем считать, что толщина доски постоянна, и, следовательно, шайба может двигаться лишь горизонтально.
Поскольку плоскость является гладкой горизонтальной, то сила ее реакции может быть направлена только вертикально. Вертикально же направлены и силы тяжести. Поэтому согласно закону сохранения импульса горизонтальная составляющая импульса системы "шайба - доска" после удара изменяться не может. В силу сделанных предположений импульс рассматриваемой системы сразу после удара должен быть равен импульсу шайбы, а после прекращения скольжения шайба и доска должны двигаться поступательно с такой скоростью $v_{к}$, что
$(m + M)v_{к} = mv$.
При скольжении на шайбу и доску действуют силы сухого трения. При сделанных предположениях величина этих сил, в соответствии с законом сухого трения, равна $\mu mg$, где $g$ - величина ускорения свободного падения, причем направление силы трения, действующей на доску, совпадает с направлением движения доски, а на шайбу ~ противоположно направлению ее движения. Поэтому при наличии скольжения работа сил трения над доской к тому моменту, когда она переместилась от своего исходного положения на расстояние $L$, равна $A_{тр.д.} = \mu mg L > 0$, работа же сил трения над шайбой $A_{тр.ш.} = - \mu mg (L + x) < 0$, где $L$ — перемещение доски относительно выбранной системы отсчета с момента начала движения, а $x$- перемещение шайбы относительно доски за тот же промежуток времени. За счет работы сил трения скорость доски увеличивается, а шайбы - уменьшается. Как только скорости доски и шайбы становятся одинаковыми, шайба перестает скользить по доске, и действие сил трения прекращается. Учитывая, что работа сил тяжести над телами системы равна нулю (направление этих сил перпендикулярно перемещениям тел) и что при сделанных предположениях кинетическая энергия рассматриваемых тел сразу после удара в выбранной системе отсчета равна кинетической энергии шайбы, а после прекращения скольжения — кинетической энергии шайбы и доски, на основании закона изменения механической энергии можно утверждать, что
$\frac{mv^{2}}{2} = \frac{(m+M)v_{к}^{2}}{2} + \mu mg x_{к}$,
где $x_{к}$ - перемещение шайбы относительно доски за время действия сил трения скольжения. Отсюда с учетом соотношения между начальной и конечной скоростями шайбы найдем, что искомое перемещение в рамках сделанных предположений должно быть равно
$x_{к} = \frac{Mv^{2}}{2 \mu g (m + M)}$.
