2014-06-01
Горизонтальный стержень OA длины $l$ вращается вокруг вертикальной оси О (рис.). На конце стержня насажено колесо радиуса $r$. Ось колеса горизонтальна и составляет угол $\alpha$ со стержнем OA. Колесо вращается на оси без трения и катится по земле. Трение между колесом и почвой большое. Сколько оборотов сделает колесо к тому моменту, когда стержень сделает один оборот?
Решение:
Если угловая скорость вращения стержня $O_{1}A$ относительно земли равна $\Omega$, то в системе координат, вращающейся вместе со стержнем, точка А неподвижна, а земля вращается вокруг оси $O_{1}$ с угловой скоростью, равной но модулю $\Omega$, в направлении, противоположном направлению вращения стержня относительно земли. Скорость $\bar{v}$ точки земли, в которой ее касается колесо, равна по модулю $\Omega t$ и направлена перпендикулярно стержню $O_{1}A$ (рис.). Ее проекция на плоскость колеса равна $v \cos \alpha$. Так как трение колеса о почву велико, то точка колеса, в которой оно касается земли, движется относительно точки А, а значит, и относительно оси колеса, со скоростью $v_{1} = v \cos \alpha$. Это означает, что колесо вращается вокруг своей оси с угловой скоростью
$\omega = \frac{v_{1}}{r} = \Omega \frac{l}{r} \cos \alpha$.
Отношение углов поворота стержня и колеса вокруг их осей равно отношению угловых скоростей вращения стержня и колеса. Поэтому, когда стержень $O_{1}A$ сделает один оборот вокруг оси $O_{1}$, колесо сделает $\frac{l}{r} \cos \alpha$ оборотов вокруг своей оси.