Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 4368
2017-10-18 
Через гладкий блок, закрепленный на гладкой неподвижной наклонной плоскости, составляющей с горизонтом угол $\alpha$, перекинута легкая нерастяжимая нить. Один конец нити прикреплен к бруску массы $M$, лежащему на плоскости, а свисающий конец пропущен через узкое отверстие в грузе массы $m$, как показано на рисунке. Если одновременно отпустить брусок и груз, нить будет проскальзывать через отверстие с постоянным ускорением а относительно груза. Найти силу натяжения нити.
Решение:
Для решения задачи выберем неподвижную относительно наклонной плоскости систему координат X0Y так, как показано на рисунке. Поскольку нить нерастяжима, а груз после отпускания (момент времени $t = 0$) скользит относительно нити с постоянным ускорением, то координата у бруска и координата $x$ груза для произвольного момента времени $О < t < t_{к}$, где $t_{к}$ - момент времени, когда либо брусок хотя бы частично начнет соскальзывать с наклонной плоскости, либо груз перестанет двигаться по нити, должны удовлетворять соотношению
$x + y = C + at^{2}/2$,
где $C$ — длина отрезка нити от бруска до верхней точки груза перед их отпусканием. Поэтому проекция скорости груза на ось ОХ
$v_{x}(t) = lim_{ \Delta t \rightarrow 0} \{ [x(t + At) - x(t)]/ \Delta t \} $
и проекция скорости бруска на ось 0Y
$V_{y} = lim_{ \Delta t \rightarrow 0} \{ [y(t + \Delta t) - y(t)] / \Delta t \}$
для указанных моментов времени связаны уравнением
$v_{x} + V_{y} = lim_{ \Delta \rightarrow 0} \{ a \cdot (t + \Delta t + t) /2 \} \ at$.
Отсюда следует, что уравнение кинематической связи -соотношение между соответствующими координатами ускорения бруска и груза - имеет вид
$a_{x} + A_{y} = a$.
Поскольку блок является гладким, а нить невесомой, то сила натяжения нити $T$ на отрезке ху остается постоянной по величине. Учитывая, что наклонная плоскость гладкая, и пренебрегая силами трения со стороны окружающей рассматриваемые тела среды, на основании II закона Ньютона уравнения движения бруска и груза для указанных моментов времени можно записать в виде
$ma_{x} = mg - T$ и $MA_{y} = Mg \sin \alpha - T$,
где $g$ - величина ускорения свободного падения.
Из приведенных уравнений кинематической связи и движения тел получим, что искомая величина силы натяжения нити при сделанных предположениях равна
$T = \frac{g(1 + \sin \alpha) - a}{m + M} mM$.
Через гладкий блок, закрепленный на гладкой неподвижной наклонной плоскости, составляющей с горизонтом угол $\alpha$, перекинута легкая нерастяжимая нить. Один конец нити прикреплен к бруску массы $M$, лежащему на плоскости, а свисающий конец пропущен через узкое отверстие в грузе массы $m$, как показано на рисунке. Если одновременно отпустить брусок и груз, нить будет проскальзывать через отверстие с постоянным ускорением а относительно груза. Найти силу натяжения нити.
Решение:
Для решения задачи выберем неподвижную относительно наклонной плоскости систему координат X0Y так, как показано на рисунке. Поскольку нить нерастяжима, а груз после отпускания (момент времени $t = 0$) скользит относительно нити с постоянным ускорением, то координата у бруска и координата $x$ груза для произвольного момента времени $О < t < t_{к}$, где $t_{к}$ - момент времени, когда либо брусок хотя бы частично начнет соскальзывать с наклонной плоскости, либо груз перестанет двигаться по нити, должны удовлетворять соотношению
$x + y = C + at^{2}/2$,
где $C$ — длина отрезка нити от бруска до верхней точки груза перед их отпусканием. Поэтому проекция скорости груза на ось ОХ
$v_{x}(t) = lim_{ \Delta t \rightarrow 0} \{ [x(t + At) - x(t)]/ \Delta t \} $
и проекция скорости бруска на ось 0Y
$V_{y} = lim_{ \Delta t \rightarrow 0} \{ [y(t + \Delta t) - y(t)] / \Delta t \}$
для указанных моментов времени связаны уравнением
$v_{x} + V_{y} = lim_{ \Delta \rightarrow 0} \{ a \cdot (t + \Delta t + t) /2 \} \ at$.
Отсюда следует, что уравнение кинематической связи -соотношение между соответствующими координатами ускорения бруска и груза - имеет вид
$a_{x} + A_{y} = a$.
Поскольку блок является гладким, а нить невесомой, то сила натяжения нити $T$ на отрезке ху остается постоянной по величине. Учитывая, что наклонная плоскость гладкая, и пренебрегая силами трения со стороны окружающей рассматриваемые тела среды, на основании II закона Ньютона уравнения движения бруска и груза для указанных моментов времени можно записать в виде
$ma_{x} = mg - T$ и $MA_{y} = Mg \sin \alpha - T$,
где $g$ - величина ускорения свободного падения.
Из приведенных уравнений кинематической связи и движения тел получим, что искомая величина силы натяжения нити при сделанных предположениях равна
$T = \frac{g(1 + \sin \alpha) - a}{m + M} mM$.
