Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 4367
2017-10-18 
На полу клети, движущейся по вертикальным направляющим в стволе шахты, стоит цилиндр с гладкими стенками. В цилиндре под поршнем массы $m$ и радиуса $r$ находится газ. Клеть, приближаясь к следующему горизонту шахты, начинает плавно изменять свою скорость, а поршень - сжимать газ. Найти ускорение клети в тот момент, когда объем газа станет на $n %$ меньше, чем при равномерном движении. Температура газа постоянна и равна $T$, а ускорение поршня близко к ускорению клети. Плотность газа под поршнем при равномерном движении клети равна $\rho$. Молярная масса газа равна $m$.
Решение:
При равномерном движении клети, считая, как обычно в подобных задачах, лабораторную систему отсчета инерциальной, согласно II закону Ньютона можно утверждать, что сумма всех действующих на поршень сил: силы тяжести $m \vec{g}$, силы давления воздуха $\vec{F}_{в}$, силы давления газа $\vec{F}_{г}$ и силы со стороны цилиндра $\vec{F}_[ц]$ - должна быть равна нулю. Поскольку цилиндр имеет гладкие вертикальные стенки, то из сказанного следует, что должно выполняться условие
$p_{a} + mg/( \pi r^{2}) = p_{г}$,
где $p_{a}$ - давление воздуха в клети, $p_{г}$ - давление газа под поршнем, $g$ - величина ускорения свободного падения. Пренебрегая сжимаемостью газа за счет действия на него сил тяжести и полагая газ подчиняющимся уравнению Клапейрона-Менделеева, необходимо считать, что заданная плотность газа и его давление должны удовлетворять уравнению
$\rho = M/V = p_{г} \mu /(RT)$,
где $M$ и $V$ — масса и объем газа, a $R$ — универсальная газовая постоянная. Поэтому при равномерном движении клети должно выполняться соотношение
$p_{a} + \frac{mg}{ \pi r^{2}} = \frac{ \rho RT}{ \mu}$.
По условию задачи при ускоренном движении клети объем газа уменьшается. При этом температура и количество газа в цилиндре остаются неизменными. Следовательно, давление газа должно увеличиться, и поскольку давление воздуха в клети можно считать постоянным, ускорение поршня а должно быть направлено вверх, а его величина должна удовлетворять уравнению
$ma = \pi r^{2} \left ( \frac{MRT}{ \mu V (1 - 0,01n)} - p_{a} \right ) - mg$.
Отсюда в соответствии с условием задачи следует, что искомое ускорение клети
$\vec{a}_{к} = \vec{a} = - \frac{0,01 \pi \rho r^{2} RTn}{ \mu m (1 - 0,01n)g} \vec{g}$.
На полу клети, движущейся по вертикальным направляющим в стволе шахты, стоит цилиндр с гладкими стенками. В цилиндре под поршнем массы $m$ и радиуса $r$ находится газ. Клеть, приближаясь к следующему горизонту шахты, начинает плавно изменять свою скорость, а поршень - сжимать газ. Найти ускорение клети в тот момент, когда объем газа станет на $n %$ меньше, чем при равномерном движении. Температура газа постоянна и равна $T$, а ускорение поршня близко к ускорению клети. Плотность газа под поршнем при равномерном движении клети равна $\rho$. Молярная масса газа равна $m$.
Решение:
При равномерном движении клети, считая, как обычно в подобных задачах, лабораторную систему отсчета инерциальной, согласно II закону Ньютона можно утверждать, что сумма всех действующих на поршень сил: силы тяжести $m \vec{g}$, силы давления воздуха $\vec{F}_{в}$, силы давления газа $\vec{F}_{г}$ и силы со стороны цилиндра $\vec{F}_[ц]$ - должна быть равна нулю. Поскольку цилиндр имеет гладкие вертикальные стенки, то из сказанного следует, что должно выполняться условие
$p_{a} + mg/( \pi r^{2}) = p_{г}$,
где $p_{a}$ - давление воздуха в клети, $p_{г}$ - давление газа под поршнем, $g$ - величина ускорения свободного падения. Пренебрегая сжимаемостью газа за счет действия на него сил тяжести и полагая газ подчиняющимся уравнению Клапейрона-Менделеева, необходимо считать, что заданная плотность газа и его давление должны удовлетворять уравнению
$\rho = M/V = p_{г} \mu /(RT)$,
где $M$ и $V$ — масса и объем газа, a $R$ — универсальная газовая постоянная. Поэтому при равномерном движении клети должно выполняться соотношение
$p_{a} + \frac{mg}{ \pi r^{2}} = \frac{ \rho RT}{ \mu}$.
По условию задачи при ускоренном движении клети объем газа уменьшается. При этом температура и количество газа в цилиндре остаются неизменными. Следовательно, давление газа должно увеличиться, и поскольку давление воздуха в клети можно считать постоянным, ускорение поршня а должно быть направлено вверх, а его величина должна удовлетворять уравнению
$ma = \pi r^{2} \left ( \frac{MRT}{ \mu V (1 - 0,01n)} - p_{a} \right ) - mg$.
Отсюда в соответствии с условием задачи следует, что искомое ускорение клети
$\vec{a}_{к} = \vec{a} = - \frac{0,01 \pi \rho r^{2} RTn}{ \mu m (1 - 0,01n)g} \vec{g}$.
