Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 4366
2017-10-18 
На горизонтальной плоскости стоит гладкий клин массы $M$. На боковую поверхность клина, составляющую угол $\alpha$ с горизонтом, кладут брусок массы $m$, а к клину прикладывают силу $\vec{F}$ в горизонтальном направлении, как показано на рисунке. Найти ускорение клина.
Решение:
При заданном направлении внешней силы $\vec{F}$ точки нижней грани бруска не могут отрываться от наклонной плоскости клина, пока брусок хотя бы частично не соскользнет с клина. Поскольку в условии специально не указано, что требуется найти решение и для таких моментов времени, то в соответствии с общепринятой практикой будем решать задачу для случая, когда брусок хотя бы частично еще не соскользнул с клина. Кроме того, как это обычно и делается в подобных задачах, будем считать, что все тела движутся поступательно. Учитывая, что по условию задачи клин движется по горизонтальной плоскости, выберем инерциальную систему отсчета так, как показано на рисунке. Очевидно, что при таком выборе проекция $A_{y}$ ускорения клина $\vec{A}$ на ось 0Y должна быть равна нулю, а указанные на рисунке координаты клина и бруска для любого из рассматриваемых моментов времени должны удовлетворять соотношению
$y_{б} = (x_{к} - x_{б}) tg \alpha$.
Отсюда следует, что при указанных условиях проекции $a_{x}$ и $a_{y}$ ускорения $\vec{a}$ бруска на оси выбранной системы координат и проекция $A_{x}$ ускорения $\vec{A}$ клина на ось ОХ связаны между собой уравнением кинематической связи
$a_{y} = (A_{x} - a_{x} ) tg \alpha$.
Поскольку клин является гладким, то на него со стороны плоскости и бруска могут действовать только силы, направленные по нормалям к его соответствующим поверхностям. Если, как обычно, пренебречь силами трения со стороны окружающей среды, уравнения движения клина и бруска в соответствии со II законом Ньютона в проекциях на оси выбранной системы координат должны иметь вид
$MA_{x} = F - N \sin \alpha$,
$ma_{x} = N \sin \alpha,
$ma_{y} = N \cos \alpha - mg$,
где $N$ — величина силы взаимодействия бруска и клина, $gg — величина ускорения свободного падения.
Решая эту систему уравнений с учетом уравнения кинематической связи, получим, что в рассматриваемом случае ускорение клина $\vec{A}$ должно быть направлено вдоль оси ОХ, причем его проекция на эту ось равна
$A_{x} = \frac{F - mg \sin \alpha \cos \alpha}{M + m \sin^{2} \alpha}$.
Из этого выражения видно, что при $F < mg \sin \alpha \cos \alpha$ клин должен двигаться с ускорением, направленным противоположно прикладываемой к нему силе $\vec{F}$, при $F = mg \sin \alpha \cos \alpha$ клин должен оставаться неподвижным, а при $F > mg \sin \alpha \cos \alpha$ клин должен двигаться с ускорением в направлении силы $\vec{F}$.
На горизонтальной плоскости стоит гладкий клин массы $M$. На боковую поверхность клина, составляющую угол $\alpha$ с горизонтом, кладут брусок массы $m$, а к клину прикладывают силу $\vec{F}$ в горизонтальном направлении, как показано на рисунке. Найти ускорение клина.
Решение:
При заданном направлении внешней силы $\vec{F}$ точки нижней грани бруска не могут отрываться от наклонной плоскости клина, пока брусок хотя бы частично не соскользнет с клина. Поскольку в условии специально не указано, что требуется найти решение и для таких моментов времени, то в соответствии с общепринятой практикой будем решать задачу для случая, когда брусок хотя бы частично еще не соскользнул с клина. Кроме того, как это обычно и делается в подобных задачах, будем считать, что все тела движутся поступательно. Учитывая, что по условию задачи клин движется по горизонтальной плоскости, выберем инерциальную систему отсчета так, как показано на рисунке. Очевидно, что при таком выборе проекция $A_{y}$ ускорения клина $\vec{A}$ на ось 0Y должна быть равна нулю, а указанные на рисунке координаты клина и бруска для любого из рассматриваемых моментов времени должны удовлетворять соотношению
$y_{б} = (x_{к} - x_{б}) tg \alpha$.
Отсюда следует, что при указанных условиях проекции $a_{x}$ и $a_{y}$ ускорения $\vec{a}$ бруска на оси выбранной системы координат и проекция $A_{x}$ ускорения $\vec{A}$ клина на ось ОХ связаны между собой уравнением кинематической связи
$a_{y} = (A_{x} - a_{x} ) tg \alpha$.
Поскольку клин является гладким, то на него со стороны плоскости и бруска могут действовать только силы, направленные по нормалям к его соответствующим поверхностям. Если, как обычно, пренебречь силами трения со стороны окружающей среды, уравнения движения клина и бруска в соответствии со II законом Ньютона в проекциях на оси выбранной системы координат должны иметь вид
$MA_{x} = F - N \sin \alpha$,
$ma_{x} = N \sin \alpha,
$ma_{y} = N \cos \alpha - mg$,
где $N$ — величина силы взаимодействия бруска и клина, $gg — величина ускорения свободного падения.
Решая эту систему уравнений с учетом уравнения кинематической связи, получим, что в рассматриваемом случае ускорение клина $\vec{A}$ должно быть направлено вдоль оси ОХ, причем его проекция на эту ось равна
$A_{x} = \frac{F - mg \sin \alpha \cos \alpha}{M + m \sin^{2} \alpha}$.
Из этого выражения видно, что при $F < mg \sin \alpha \cos \alpha$ клин должен двигаться с ускорением, направленным противоположно прикладываемой к нему силе $\vec{F}$, при $F = mg \sin \alpha \cos \alpha$ клин должен оставаться неподвижным, а при $F > mg \sin \alpha \cos \alpha$ клин должен двигаться с ускорением в направлении силы $\vec{F}$.
