Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 436
2014-06-01 
На горизонтальной плоскости находятся две одинаковые тонкостенные трубы массой $m$ каждая, оси их параллельны. Вначале одна из труб покоится, а вторая катится без проскальзывания по направлению к первой до столкновения. Скорость поступательного движения трубы равна $\bar{v}$. Как зависят от времени поступательные и угловые скорости вращения труб? Коэффициент трения скольжения труб о горизонтальную поверхность $\mu$, трением между трубами при столкновении пренебречь. Столкновение считать абсолютно упругим. Нарисуйте график. Радиус труб равен $R$.
Решение:
Так как трение между трубами мало, то можно считать, что при соударении труб вращение одной из них не передается другой. Поэтому, рассматривая соударение, можно не учитывать их вращение.
Запишем для столкновения труб законы сохранения энергии и импульса:
$mv_{0}=mv_{1} + mv_{2}, \frac{mv^{2}_{0}}{2} = \frac{mv^{2}_{1}}{2} + \frac{mv^{2}_{2}}{2}$
где $v_{1}$ и $v_{2}$ - скорости поступательного движения соответственно первой и второй труб после соударения. Решая эти уравнения совместно, находим: $v_{1}=0$ и $v_{2}=v_{0}$. Таким образом, трубы при соударении «обмениваются» скоростями поступательного движения.
Рассмотрим теперь, что будет происходить с первоначально двигавшейся трубой после соударения. В системе координат, движущейся со скоростью скорость касающейся плоскости точки первой трубы равна - $\bar{v}_{0}$. Следовательно, в этой системе координат первая труба после столкновения вращается вокруг своей оси с угловой скоростью
$\omega=\frac{v_{0}}{R}$.
Сила трения $F=\mu mg$ (рис.), действующая на эту трубу, замедляет ее вращение и одновременно сообщает ей ускорение
$a= \frac{F_{тр}}{m}= \mu g$
в направлении первоначального движения трубы. К моменту $t$ эта труба будет иметь скорость поступательного движения
$u^{\prime}_{1}=at=\mu gt$
и будет вращаться вокруг своей оси с угловой скоростью
$\omega_{1}= \frac{v_{0}- \mu gt}{R}$
Скорость поступательного движения трубы увеличивается пропорционально времени, а скорость вращения трубы уменьшается по линейному закону. К моменту $t_{0}$, когда скорость поступательного движения оси трубы станет равна линейной скорости вращения трубы вокруг оси, проскальзывание трубы относительно плоскости прекратится, и после этого ни скорость вращения трубы $\omega_{1}$, ни скорость поступательного движения оси трубы $u^{\prime}_{1}$ уже не будут меняться. Из условия
$\nu g t_{0} = v_{0} - \mu g t_{0}$
найдем $t_{0}$:
$t_{0}=\frac{v_{0}}{2 \mu g}$.
В этот момент времени
$u^{\prime}_{1}=\frac{v_{0}}{2}$ и $\omega_{1}=\frac{v_{0}}{2R}$.
Рассматривая аналогично движение второй трубы, найдем:
$u_{2}=v_{0} - \mu gt$ и $\omega_{2}=\frac{\nu gt}{R}$
Действующая на вторую трубу сила трения уменьшает скорость $u_{2}$ ее поступательного движения и увеличивает угловую скорость вращения $\omega_{2}$ вокруг оси. К моменту $t_{0}$ проскальзывание трубы относительно плоскости прекратится. С этого момента труба будет иметь постоянную скорость поступательного движения
$u_{2}=\frac{v_{0}}{2}$
и угловую скорость вращения вокруг оси
$\omega_{2}=\frac{v_{0}}{2R}$.
Графики зависимости скоростей поступательного движения труб и угловых скоростей вращения труб вокруг их осей от времени показаны на рисунке.
На горизонтальной плоскости находятся две одинаковые тонкостенные трубы массой $m$ каждая, оси их параллельны. Вначале одна из труб покоится, а вторая катится без проскальзывания по направлению к первой до столкновения. Скорость поступательного движения трубы равна $\bar{v}$. Как зависят от времени поступательные и угловые скорости вращения труб? Коэффициент трения скольжения труб о горизонтальную поверхность $\mu$, трением между трубами при столкновении пренебречь. Столкновение считать абсолютно упругим. Нарисуйте график. Радиус труб равен $R$.
Решение:
Так как трение между трубами мало, то можно считать, что при соударении труб вращение одной из них не передается другой. Поэтому, рассматривая соударение, можно не учитывать их вращение.
Запишем для столкновения труб законы сохранения энергии и импульса:
$mv_{0}=mv_{1} + mv_{2}, \frac{mv^{2}_{0}}{2} = \frac{mv^{2}_{1}}{2} + \frac{mv^{2}_{2}}{2}$
где $v_{1}$ и $v_{2}$ - скорости поступательного движения соответственно первой и второй труб после соударения. Решая эти уравнения совместно, находим: $v_{1}=0$ и $v_{2}=v_{0}$. Таким образом, трубы при соударении «обмениваются» скоростями поступательного движения.
Рассмотрим теперь, что будет происходить с первоначально двигавшейся трубой после соударения. В системе координат, движущейся со скоростью скорость касающейся плоскости точки первой трубы равна - $\bar{v}_{0}$. Следовательно, в этой системе координат первая труба после столкновения вращается вокруг своей оси с угловой скоростью
$\omega=\frac{v_{0}}{R}$.
Сила трения $F=\mu mg$ (рис.), действующая на эту трубу, замедляет ее вращение и одновременно сообщает ей ускорение
$a= \frac{F_{тр}}{m}= \mu g$
в направлении первоначального движения трубы. К моменту $t$ эта труба будет иметь скорость поступательного движения
$u^{\prime}_{1}=at=\mu gt$
и будет вращаться вокруг своей оси с угловой скоростью
$\omega_{1}= \frac{v_{0}- \mu gt}{R}$
Скорость поступательного движения трубы увеличивается пропорционально времени, а скорость вращения трубы уменьшается по линейному закону. К моменту $t_{0}$, когда скорость поступательного движения оси трубы станет равна линейной скорости вращения трубы вокруг оси, проскальзывание трубы относительно плоскости прекратится, и после этого ни скорость вращения трубы $\omega_{1}$, ни скорость поступательного движения оси трубы $u^{\prime}_{1}$ уже не будут меняться. Из условия
$\nu g t_{0} = v_{0} - \mu g t_{0}$
найдем $t_{0}$:
$t_{0}=\frac{v_{0}}{2 \mu g}$.
В этот момент времени
$u^{\prime}_{1}=\frac{v_{0}}{2}$ и $\omega_{1}=\frac{v_{0}}{2R}$.
Рассматривая аналогично движение второй трубы, найдем:
$u_{2}=v_{0} - \mu gt$ и $\omega_{2}=\frac{\nu gt}{R}$
Действующая на вторую трубу сила трения уменьшает скорость $u_{2}$ ее поступательного движения и увеличивает угловую скорость вращения $\omega_{2}$ вокруг оси. К моменту $t_{0}$ проскальзывание трубы относительно плоскости прекратится. С этого момента труба будет иметь постоянную скорость поступательного движения
$u_{2}=\frac{v_{0}}{2}$
и угловую скорость вращения вокруг оси
$\omega_{2}=\frac{v_{0}}{2R}$.
Графики зависимости скоростей поступательного движения труб и угловых скоростей вращения труб вокруг их осей от времени показаны на рисунке.
