Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 4339
2017-10-15 
Идеальный одноатомный газ, имевший температуру $T_{1}$ изобарически переводят в состояние 2 с температурой $T_{2} > T_{1}$, затем изохорически - в состояние 3 с температурой $T_{3} < T_{4}$, а после изобарического сжатия - в такое состояние 4, из которого его переводят в исходное состояние изохорически. Найти КПД этого цикла.
Решение:
КПД тепловой машины по определению равен: $\eta = A/Q_{н}$ , где $A$ - работа, совершенная за один цикл, a $Q_{н}$ - количество теплоты, полученное при этом рабочим веществом от нагревателя. С учетом обозначений на рисунке, где приведена $pV$-диаграмма заданного цикла, работа газа; за один цикл $A = (p_{1} - p_{3})(V_{2} - V_{1})$. Учитывая, что согласно уравнению Клапейрона-Менделеева произведение давления $p$ газа на занимаемый им объем $V$ равно газовой постоянной $R$, умноженной на число молей газа $\nu$ и его абсолютную температуру $T$, искомая работа может быть найдена по формуле: $A = \nu R(T_{2} - T_{1} - T_{3} + T_{4})$. При переходе из точки 1 в точку 2 газ совершает положительную работу. Одновременно с этим возрастает и внутренняя энергия газа, т.к. увеличивается его температура ($T_{2} > T_{1}$). Следовательно, на участке 1-2 газ должен получать тепло от нагревателя. Учитывая, что молярная теплоемкость идеального одноатомного газа при изобарическом нагревании равна $2,5R$, полученное количество теплоты равно $Q_{12} = 2,5 \nu R(T_{2} - T_{1})$. Ha участке 2-3 температура газа по условию задачи уменьшается, а его объем остается постоянным. Поэтому на этом участке газ отдает тепло холодильнику. На следующем участке газ также должен отдавать тепло. Наконец, на участке 4-1 при неизменном объеме давление газа увеличивается и, следовательно, увеличивается его температура. Поскольку молярная теплоемкость одноатомного газа при изохорическом процессе равна $1,5R$, на этом участке газ получает от нагревателя количество теплоты $Q_{41} = 1,5 \nu R(T_{1} - T_{4})$. Таким образом, полученное газом за один цикл количество теплоты $Q_{н} = Q_{12} + Q_{41}$. Объемы газа в точках 1 и 4 и, соответственно, 2 и 3 по условию задачи равны, а потому должны выполняться следующие соотношения: $p_{1}/p_{3} = T_{1}/T_{4} = T_{2}/T_{3}$. Из этих соотношений следует, что неизвестная температура газа $T_{4} = T_{1}T_{3}/T_{2}$. Подставляя это значение в ранее полученные выражения, находим, что искомый КПД равен $\eta = \frac{T_{2} (T_{2} - T_{1} - T_{3}) + T_{1}T_{3}}{T_{2}(2,5T_{2} - T_{1}) - 1,5T_{1}T_{3}}$.
Идеальный одноатомный газ, имевший температуру $T_{1}$ изобарически переводят в состояние 2 с температурой $T_{2} > T_{1}$, затем изохорически - в состояние 3 с температурой $T_{3} < T_{4}$, а после изобарического сжатия - в такое состояние 4, из которого его переводят в исходное состояние изохорически. Найти КПД этого цикла.
Решение:
КПД тепловой машины по определению равен: $\eta = A/Q_{н}$ , где $A$ - работа, совершенная за один цикл, a $Q_{н}$ - количество теплоты, полученное при этом рабочим веществом от нагревателя. С учетом обозначений на рисунке, где приведена $pV$-диаграмма заданного цикла, работа газа; за один цикл $A = (p_{1} - p_{3})(V_{2} - V_{1})$. Учитывая, что согласно уравнению Клапейрона-Менделеева произведение давления $p$ газа на занимаемый им объем $V$ равно газовой постоянной $R$, умноженной на число молей газа $\nu$ и его абсолютную температуру $T$, искомая работа может быть найдена по формуле: $A = \nu R(T_{2} - T_{1} - T_{3} + T_{4})$. При переходе из точки 1 в точку 2 газ совершает положительную работу. Одновременно с этим возрастает и внутренняя энергия газа, т.к. увеличивается его температура ($T_{2} > T_{1}$). Следовательно, на участке 1-2 газ должен получать тепло от нагревателя. Учитывая, что молярная теплоемкость идеального одноатомного газа при изобарическом нагревании равна $2,5R$, полученное количество теплоты равно $Q_{12} = 2,5 \nu R(T_{2} - T_{1})$. Ha участке 2-3 температура газа по условию задачи уменьшается, а его объем остается постоянным. Поэтому на этом участке газ отдает тепло холодильнику. На следующем участке газ также должен отдавать тепло. Наконец, на участке 4-1 при неизменном объеме давление газа увеличивается и, следовательно, увеличивается его температура. Поскольку молярная теплоемкость одноатомного газа при изохорическом процессе равна $1,5R$, на этом участке газ получает от нагревателя количество теплоты $Q_{41} = 1,5 \nu R(T_{1} - T_{4})$. Таким образом, полученное газом за один цикл количество теплоты $Q_{н} = Q_{12} + Q_{41}$. Объемы газа в точках 1 и 4 и, соответственно, 2 и 3 по условию задачи равны, а потому должны выполняться следующие соотношения: $p_{1}/p_{3} = T_{1}/T_{4} = T_{2}/T_{3}$. Из этих соотношений следует, что неизвестная температура газа $T_{4} = T_{1}T_{3}/T_{2}$. Подставляя это значение в ранее полученные выражения, находим, что искомый КПД равен $\eta = \frac{T_{2} (T_{2} - T_{1} - T_{3}) + T_{1}T_{3}}{T_{2}(2,5T_{2} - T_{1}) - 1,5T_{1}T_{3}}$.
