Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 4335
2017-10-15 
Идеальный газ в исходном состоянии имел температуру $T_{0}$. Затем давление газа уменьшили в $n = 2$ раза, увеличив его объем во столько же раз так, что объем изменялся в зависимости от давления по линейному закону. Найти максимальную температуру газа при этом процессе.
Решение:
Давление $p$ идеального газа, занимаемый им объем $V$ и его абсолютная температура $T$ согласно уравнению Клапейрона-Менделеева должны удовлетворять соотношению: $pV = BT$, где величина В равна произведению газовой постоянной на число молей газа. Поскольку при рассматриваемом процессе число молей газа следует считать неизменным, то и величина В должна оставаться постоянной. Если давление газа и занимаемый им объем в исходном состоянии обозначить $p_{0}$ и $V_{0}$, соответственно, то по условию задачи зависимость давления газа от занимаемого им объема можно представить в виде: $p = p_{0} - a(V - V_{0})$, где $a$ - положительная постоянная величина, определающая скорость изменения давления газа при изменении занимаемого газом объема. Отсюда следует, что температура газа $T$ является квадратичной функцией занимаемого им объема: $BT = (p_{0} + aV_{0})V - aV^{2}$. График этой зависимости показан на рисунке. При построении графика было учтено, что температура газа в исходном и конечном состояниях одинакова, тле. произведения давления газа на занимаемый им объем по условию в этих состояниях равны. Из полученной выше зависимости температуры газа от занимаемого им объема и приведенного графика следует, что при температурах, меньших максимальной $T_{m}$, газ может занимать два разных объема:
$V_{1,2} = [p_{0} + aV_{0} \pm \sqrt{(p_{0} + aV_{0})^{2} -4aBT }]/2a$,
величины которых стремятся друг к другу по мере приближения температуры газа к максимальной. Следовательно, искомая температура равна $T_{m} = (p_{0} + aV_{0})^{2}/4aB$. Учитывая, что в конечном состоянии давление газа в п раз меньше, а его объем во столько же раз больше, чем в исходном состоянии, получим $a = p_{0}/nV_{0}$. Подставляя это значение в предыдущее выражение и учитывая, что $B = p_{0}V_{0}/T_{0}$, найдем $T_{m} = (n + 1)^{2} T_{0}/4n = 9T_{0}/8$.
Идеальный газ в исходном состоянии имел температуру $T_{0}$. Затем давление газа уменьшили в $n = 2$ раза, увеличив его объем во столько же раз так, что объем изменялся в зависимости от давления по линейному закону. Найти максимальную температуру газа при этом процессе.
Решение:
Давление $p$ идеального газа, занимаемый им объем $V$ и его абсолютная температура $T$ согласно уравнению Клапейрона-Менделеева должны удовлетворять соотношению: $pV = BT$, где величина В равна произведению газовой постоянной на число молей газа. Поскольку при рассматриваемом процессе число молей газа следует считать неизменным, то и величина В должна оставаться постоянной. Если давление газа и занимаемый им объем в исходном состоянии обозначить $p_{0}$ и $V_{0}$, соответственно, то по условию задачи зависимость давления газа от занимаемого им объема можно представить в виде: $p = p_{0} - a(V - V_{0})$, где $a$ - положительная постоянная величина, определающая скорость изменения давления газа при изменении занимаемого газом объема. Отсюда следует, что температура газа $T$ является квадратичной функцией занимаемого им объема: $BT = (p_{0} + aV_{0})V - aV^{2}$. График этой зависимости показан на рисунке. При построении графика было учтено, что температура газа в исходном и конечном состояниях одинакова, тле. произведения давления газа на занимаемый им объем по условию в этих состояниях равны. Из полученной выше зависимости температуры газа от занимаемого им объема и приведенного графика следует, что при температурах, меньших максимальной $T_{m}$, газ может занимать два разных объема:
$V_{1,2} = [p_{0} + aV_{0} \pm \sqrt{(p_{0} + aV_{0})^{2} -4aBT }]/2a$,
величины которых стремятся друг к другу по мере приближения температуры газа к максимальной. Следовательно, искомая температура равна $T_{m} = (p_{0} + aV_{0})^{2}/4aB$. Учитывая, что в конечном состоянии давление газа в п раз меньше, а его объем во столько же раз больше, чем в исходном состоянии, получим $a = p_{0}/nV_{0}$. Подставляя это значение в предыдущее выражение и учитывая, что $B = p_{0}V_{0}/T_{0}$, найдем $T_{m} = (n + 1)^{2} T_{0}/4n = 9T_{0}/8$.
