Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 433
2014-06-01 
Якоря двух одинаковых электродвигателей постоянного тока соосны и жестко соединены друг с другом. К обмоткам якорей подключены одинаковые источники тока с ЭДС, равной $\mathcal{E}$. При этом угловая скорость вращения якорей при работе двигателей без нагрузки была равна $\omega_{0}$. Если двигатели полностью затормозить, то сила тока в якорях оказывается равной $I_{0}$.
Один из источников переключили так, что вращающие моменты двигателей стали противоположными. Какой вращающий момент нужно приложить к соединенным якорям, для того чтобы они вращались с заданной угловой скоростью $\omega$? Трение в двигателях пренебрежимо мало, магнитное поле статора создается постоянным магнитом.
Решение:
При полностью заторможенном якоре по его обмотке идет ток
$I_{0}= \frac{\mathcal{E}}{R}$.
Откуда для сопротивления обмотки якоря получаем:
$R=\frac{\mathcal{E}}{I_{0}}$.
При вращении якоря электродвигателя в его обмотке возникает ЭДС индукции $mathcal{E}$, пропорциональная угловой скорости $\omega$ вращения якоря:
$\mathcal{E} = k \omega$,
где $k$ - коэффициент пропорциональности.
По закону сохранения энергии
$\mathcal{E} It= I^{2}Rt + Nt$,
или, сократив на время $t$ работы двигателя, получим:
$\mathcal{E} I= I^{2}R + N$,
где $\mathcal{E} I$ - мощность, потребляемая электродвигателем от сети, $I^{2}R$ -тепловые потери в обмотке якоря, $N$ - мощность, отдаваемая нагрузке, $R$ - сопротивление обмотки якоря и $I$ - сила тока в обмотке.
Из этого уравнения следует, что при отсутствии нагрузки ($N=0$) сила тока в обмотке якоря равна нулю. Но по закону Ома сила тока в обмотке должна быть равна $\frac{\mathcal{E} - \mathcal{E}_{н}}{R}$. Это означает, что при отсутствии нагрузки ЭДС индукции $\mathcal{E}_{н}$, возникающая в обмотке якоря, равна ЭДС источника $\mathcal{E}$. После переключения одного из источников в обмотках якорей будет возбуждаться ЭДС:
$\mathcal{E}_{н}^{\prime}=k \omega = \mathcal{E}_{н} \frac{\omega}{omega_{0}} = \mathcal{E} \frac{\omega}{omega_{0}}$.
При этом по обмоткам будут идти токи
$I_{1}=\frac{\mathcal{E} - \mathcal{E}^{\prime}_{н}}{R}=I_{0} (1 - \frac{\omega}{\omega_{0}})$,
$I_{2}=\frac{\mathcal{E} + \mathcal{E}^{\prime}_{н}}{R}=I_{0} (1 + \frac{\omega}{\omega_{0}})$.
За счет работы источников к внешней силы происходит нагревание обмоток:
$\mathcal{E} I_{1} + \mathcal{E} I_{2} + N^{\prime} = I_{1}^{2}R + I^{2}_{2}R$.
Здесь
$N^{\prime}=Fv=Fr \omega = M \omega$,
где $F$ - приложенная к якорю внешняя сила, $M$ - момент этой силы относительно оси и $\omega$ - угловая скорость точек на поверхности оси якорей. Заменив $N^{\prime},I_{1},I_{2}$ и $R$ их выражениями через $M, \omega, I_{0}$ и $\mathcal{E}$, получим:
$M \omega + \mathcal{E} I_{0} \left [ \left ( 1+ \frac{\omega}{\omega_{0}} \right ) + \left ( 1- \frac{\omega}{\omega_{0}} \right ) \right ] = I^{2}_{0} \frac{\mathcal{E}}{I_{0}} \left [ \left ( 1+ \frac{\omega}{\omega_{0}} \right )^{2} + \left ( 1- \frac{\omega}{\omega_{0}} \right )^{2} \right ] $
откуда
$M \omega + 2 \mathcal{E} I_{0} = \mathcal{E} I_{0} \left [ 2 + 2 \left ( \frac{\omega}{\omega_{0}} \right )^{2} \right ]$
или
$M= \frac{2 \mathcal{E} I_{0} \omega}{\omega^{2}_{0}}$
Якоря двух одинаковых электродвигателей постоянного тока соосны и жестко соединены друг с другом. К обмоткам якорей подключены одинаковые источники тока с ЭДС, равной $\mathcal{E}$. При этом угловая скорость вращения якорей при работе двигателей без нагрузки была равна $\omega_{0}$. Если двигатели полностью затормозить, то сила тока в якорях оказывается равной $I_{0}$.
Один из источников переключили так, что вращающие моменты двигателей стали противоположными. Какой вращающий момент нужно приложить к соединенным якорям, для того чтобы они вращались с заданной угловой скоростью $\omega$? Трение в двигателях пренебрежимо мало, магнитное поле статора создается постоянным магнитом.
Решение:
При полностью заторможенном якоре по его обмотке идет ток
$I_{0}= \frac{\mathcal{E}}{R}$.
Откуда для сопротивления обмотки якоря получаем:
$R=\frac{\mathcal{E}}{I_{0}}$.
При вращении якоря электродвигателя в его обмотке возникает ЭДС индукции $mathcal{E}$, пропорциональная угловой скорости $\omega$ вращения якоря:
$\mathcal{E} = k \omega$,
где $k$ - коэффициент пропорциональности.
По закону сохранения энергии
$\mathcal{E} It= I^{2}Rt + Nt$,
или, сократив на время $t$ работы двигателя, получим:
$\mathcal{E} I= I^{2}R + N$,
где $\mathcal{E} I$ - мощность, потребляемая электродвигателем от сети, $I^{2}R$ -тепловые потери в обмотке якоря, $N$ - мощность, отдаваемая нагрузке, $R$ - сопротивление обмотки якоря и $I$ - сила тока в обмотке.
Из этого уравнения следует, что при отсутствии нагрузки ($N=0$) сила тока в обмотке якоря равна нулю. Но по закону Ома сила тока в обмотке должна быть равна $\frac{\mathcal{E} - \mathcal{E}_{н}}{R}$. Это означает, что при отсутствии нагрузки ЭДС индукции $\mathcal{E}_{н}$, возникающая в обмотке якоря, равна ЭДС источника $\mathcal{E}$. После переключения одного из источников в обмотках якорей будет возбуждаться ЭДС:
$\mathcal{E}_{н}^{\prime}=k \omega = \mathcal{E}_{н} \frac{\omega}{omega_{0}} = \mathcal{E} \frac{\omega}{omega_{0}}$.
При этом по обмоткам будут идти токи
$I_{1}=\frac{\mathcal{E} - \mathcal{E}^{\prime}_{н}}{R}=I_{0} (1 - \frac{\omega}{\omega_{0}})$,
$I_{2}=\frac{\mathcal{E} + \mathcal{E}^{\prime}_{н}}{R}=I_{0} (1 + \frac{\omega}{\omega_{0}})$.
За счет работы источников к внешней силы происходит нагревание обмоток:
$\mathcal{E} I_{1} + \mathcal{E} I_{2} + N^{\prime} = I_{1}^{2}R + I^{2}_{2}R$.
Здесь
$N^{\prime}=Fv=Fr \omega = M \omega$,
где $F$ - приложенная к якорю внешняя сила, $M$ - момент этой силы относительно оси и $\omega$ - угловая скорость точек на поверхности оси якорей. Заменив $N^{\prime},I_{1},I_{2}$ и $R$ их выражениями через $M, \omega, I_{0}$ и $\mathcal{E}$, получим:
$M \omega + \mathcal{E} I_{0} \left [ \left ( 1+ \frac{\omega}{\omega_{0}} \right ) + \left ( 1- \frac{\omega}{\omega_{0}} \right ) \right ] = I^{2}_{0} \frac{\mathcal{E}}{I_{0}} \left [ \left ( 1+ \frac{\omega}{\omega_{0}} \right )^{2} + \left ( 1- \frac{\omega}{\omega_{0}} \right )^{2} \right ] $
откуда
$M \omega + 2 \mathcal{E} I_{0} = \mathcal{E} I_{0} \left [ 2 + 2 \left ( \frac{\omega}{\omega_{0}} \right )^{2} \right ]$
или
$M= \frac{2 \mathcal{E} I_{0} \omega}{\omega^{2}_{0}}$
