Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 4326
2017-10-15 
На плоскости, образующей с горизонтом угол $\alpha$, удерживают куб массы $m$. Коэффициент трения куба о плоскость равен $\mu$, причем $\mu < tg \alpha$. К середине грани куба прикреплена пружина жесткости $k$, верхний конец которой закреплен так, что пружина не деформирована, ее ось образует с горизонтом угол $\alpha$ и продолжение оси проходит через центр куба. Какую максимальную скорость приобретет куб, если его перестать удерживать в этом положении?
Решение:
Поскольку $\mu < tg \alpha$, после отпускания куб начнет двигаться вниз по наклонной плоскости с некоторым ускорением. При смещении куба от исходного положения вдоль наклонной плоскости, равном $x$, на куб будут действовать сила тяжести $\vec{F}_{T} = m \vec{g}$, сила упругой деформации пружины $\vec{F}_{п}(x) = - k \vec{x}$ и сила реакции наклонной плоскости $\vec{R}$. Нормальная составляющая последней $R_{n} = mg \cos \alpha$, а тангенциальная - сила трения скольжения $R_{ \tau} = \mu mg \cos \alpha$ - направлена вверх по наклонной плоскости, пока куб движется вниз. Скорость куба будет максимальной при смещении куба вдоль наклонной плоскости на расстояние $x_{m}$, когда его ускорение обратится в нуль, т.е. при условии $\vec{F}_{T} + \vec{F}_{п}(x_{m}) + \vec{R} = 0$. Отсюда следует, что к интересующему нас моменту времени куб сместится вниз по наклонной плоскости на расстояние $x_{m} = mg( \sin \alpha - \mu \cos \alpha )/k$. К этому моменту сила тяжести совершит над кубом работу $A_{Т} = mgx_{m} \sin \alpha$, а куб, в свою очередь, совершит работу против силы трения $A_{тр} = \mu mgx_{m} \cos \alpha$ и против силы упругой деформации пружины $A_{п} = kx_{m}^{2} /2$. Поэтому кинетическая энергия куба в этот момент времени станет равной $W_{кm} = mv_{m}^{2}/2 = A_{т} - A_{тр} - A_{п}$. Отсюда искомая скорость равна
$v_{m} = g( \sin \alpha - \mu \cos \alpha) \sqrt{m/k}$.
На плоскости, образующей с горизонтом угол $\alpha$, удерживают куб массы $m$. Коэффициент трения куба о плоскость равен $\mu$, причем $\mu < tg \alpha$. К середине грани куба прикреплена пружина жесткости $k$, верхний конец которой закреплен так, что пружина не деформирована, ее ось образует с горизонтом угол $\alpha$ и продолжение оси проходит через центр куба. Какую максимальную скорость приобретет куб, если его перестать удерживать в этом положении?
Решение:
Поскольку $\mu < tg \alpha$, после отпускания куб начнет двигаться вниз по наклонной плоскости с некоторым ускорением. При смещении куба от исходного положения вдоль наклонной плоскости, равном $x$, на куб будут действовать сила тяжести $\vec{F}_{T} = m \vec{g}$, сила упругой деформации пружины $\vec{F}_{п}(x) = - k \vec{x}$ и сила реакции наклонной плоскости $\vec{R}$. Нормальная составляющая последней $R_{n} = mg \cos \alpha$, а тангенциальная - сила трения скольжения $R_{ \tau} = \mu mg \cos \alpha$ - направлена вверх по наклонной плоскости, пока куб движется вниз. Скорость куба будет максимальной при смещении куба вдоль наклонной плоскости на расстояние $x_{m}$, когда его ускорение обратится в нуль, т.е. при условии $\vec{F}_{T} + \vec{F}_{п}(x_{m}) + \vec{R} = 0$. Отсюда следует, что к интересующему нас моменту времени куб сместится вниз по наклонной плоскости на расстояние $x_{m} = mg( \sin \alpha - \mu \cos \alpha )/k$. К этому моменту сила тяжести совершит над кубом работу $A_{Т} = mgx_{m} \sin \alpha$, а куб, в свою очередь, совершит работу против силы трения $A_{тр} = \mu mgx_{m} \cos \alpha$ и против силы упругой деформации пружины $A_{п} = kx_{m}^{2} /2$. Поэтому кинетическая энергия куба в этот момент времени станет равной $W_{кm} = mv_{m}^{2}/2 = A_{т} - A_{тр} - A_{п}$. Отсюда искомая скорость равна
$v_{m} = g( \sin \alpha - \mu \cos \alpha) \sqrt{m/k}$.
