Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 4324
2017-10-15 
Лежащий на горизонтальной плоскости гладкий брусок массы $M$ прикреплен к вертикальной стене легкой пружиной жесткости $k$. При недеформированной пружине брусок торцом касается грани кубика, масса которого много меньше $M$. Ось пружины горизонтальна и лежит в вертикальной Уплоскости, проходящей через центры кубика и бруска. Сдвигая брусок, пружину сжимают вдолв ее оси на величину $\Delta x$, после чего брусок отпускают без начальной скорости. На какое расстояние передвинется кубик после идеально упругого удара, если коэффициент трения кубика о плоскость достаточно мал и равен $\mu$?
Решение:
Для решения задачи рассмотрим три характерных временных промежутка.
Первый промежуток начинается с момента отпускания бруска и заканчивается в момент касания бруском кубика. Поскольку брусок отпускают без начальной скорости и он движется по горизонтальной плоскости без трения, то на основании закона сохранения механической энергии непосредственно перед ударом скорость бруска должна быть равна $V = \sqrt{k/M} \Delta x$.
В течение второго промежутка происходит соударение бруска и кубика. При этом сила трения, действующая на кубик, изменяется от нуля до $\mu mg$, где $m$ - масса кубика. Полагая, как обычно, что время соударения бруска и кубика достаточно мало, можно во время удара пренебречь импульсом силы трения, действующей на кубик со стороны плоскости, по сравнению с импульсом силы, действующей на кубик со стороны бруска. Поскольку по условию задачи пружина в момент удара W деформирована, можно считать, что пружина не действует на брусок во время соударения. Отсюда следует, что систему, состоящую из бруска и кубика, во время соударения можно считать замкнутой. Тогда, согласно закону сохранения импульса, должно выполняться соотношение:
$M \vec{V} = M \vec{U} + m \vec{u}$, (1)
где $\vec{U}$ и $\vec{u}$ - скорости бруска и кубика непосредственно после соударения. Поскольку работа сил тяжести и нормальной составляющей сил реакции плоскости, действующих на кубик и брусок, равна нулю (эти силы перпендикулярны возможным перемещениям указанных тел), удар бруска о кубик является идеально упругим и в силу малой длительности соударения смещением кубика и бруска (а следовательно, и работой сил трения и деформации пружины) можно пренебречь, механическая энергия рассматриваемой системы должна оставаться неизменной, т.е. должно иметь место равенство:
$MV^{2}/2 = MU^{2}/2 + mu^{2}/2$. (2)
Определив из (1) скорость бруска $\vec{U}$ и подставив ее в (2), получим $2M \vec{V} \vec{u} = (m + M) u^{2}$, или, учитывая, что по условию задачи $m \ll M, 2 \vec{V} \vec{u} = u^{2}$. Отсюда с учетом возможного направления движения следует, что кубик после соударения приобретает скорость $u = 2V = 2 \sqrt{k/M} \Delta x$, а скорость бруска остается неизменной и равной $V$.
В течение последнего промежутка времени на кубик в горизонтальном направлении вплоть до его остановки действует сила трения скольжения $\mu mg$, и следовательно, кубик движется равнозамедленно с ускорением $\mu g$. На брусок же после соударения в горизонтальном направлении действует только сила упругости пружины, т.к. по условию брусок является гладким. Следовательно, скорость бруска изменяется по гармоническому закону, и пока кубик движется, он опережает брусок. Из сказанного следует, что брусок от положения равновесия может сместиться на расстояние $\Delta x$. Если коэффициент трения ц достаточно мал, то повторного соударения бруска с кубиком не произойдет, а потому искомое смещение кубика равно $L = u^{2}/2 \mu g = 2k( \Delta x)^{2} / \mu Mg$. Сопоставляя это расстояние с $\Delta x$, получим, что приведенный ответ верен при $\mu \leq 2k \Delta x /Mg$.
Лежащий на горизонтальной плоскости гладкий брусок массы $M$ прикреплен к вертикальной стене легкой пружиной жесткости $k$. При недеформированной пружине брусок торцом касается грани кубика, масса которого много меньше $M$. Ось пружины горизонтальна и лежит в вертикальной Уплоскости, проходящей через центры кубика и бруска. Сдвигая брусок, пружину сжимают вдолв ее оси на величину $\Delta x$, после чего брусок отпускают без начальной скорости. На какое расстояние передвинется кубик после идеально упругого удара, если коэффициент трения кубика о плоскость достаточно мал и равен $\mu$?
Решение:
Для решения задачи рассмотрим три характерных временных промежутка.
Первый промежуток начинается с момента отпускания бруска и заканчивается в момент касания бруском кубика. Поскольку брусок отпускают без начальной скорости и он движется по горизонтальной плоскости без трения, то на основании закона сохранения механической энергии непосредственно перед ударом скорость бруска должна быть равна $V = \sqrt{k/M} \Delta x$.
В течение второго промежутка происходит соударение бруска и кубика. При этом сила трения, действующая на кубик, изменяется от нуля до $\mu mg$, где $m$ - масса кубика. Полагая, как обычно, что время соударения бруска и кубика достаточно мало, можно во время удара пренебречь импульсом силы трения, действующей на кубик со стороны плоскости, по сравнению с импульсом силы, действующей на кубик со стороны бруска. Поскольку по условию задачи пружина в момент удара W деформирована, можно считать, что пружина не действует на брусок во время соударения. Отсюда следует, что систему, состоящую из бруска и кубика, во время соударения можно считать замкнутой. Тогда, согласно закону сохранения импульса, должно выполняться соотношение:
$M \vec{V} = M \vec{U} + m \vec{u}$, (1)
где $\vec{U}$ и $\vec{u}$ - скорости бруска и кубика непосредственно после соударения. Поскольку работа сил тяжести и нормальной составляющей сил реакции плоскости, действующих на кубик и брусок, равна нулю (эти силы перпендикулярны возможным перемещениям указанных тел), удар бруска о кубик является идеально упругим и в силу малой длительности соударения смещением кубика и бруска (а следовательно, и работой сил трения и деформации пружины) можно пренебречь, механическая энергия рассматриваемой системы должна оставаться неизменной, т.е. должно иметь место равенство:
$MV^{2}/2 = MU^{2}/2 + mu^{2}/2$. (2)
Определив из (1) скорость бруска $\vec{U}$ и подставив ее в (2), получим $2M \vec{V} \vec{u} = (m + M) u^{2}$, или, учитывая, что по условию задачи $m \ll M, 2 \vec{V} \vec{u} = u^{2}$. Отсюда с учетом возможного направления движения следует, что кубик после соударения приобретает скорость $u = 2V = 2 \sqrt{k/M} \Delta x$, а скорость бруска остается неизменной и равной $V$.
В течение последнего промежутка времени на кубик в горизонтальном направлении вплоть до его остановки действует сила трения скольжения $\mu mg$, и следовательно, кубик движется равнозамедленно с ускорением $\mu g$. На брусок же после соударения в горизонтальном направлении действует только сила упругости пружины, т.к. по условию брусок является гладким. Следовательно, скорость бруска изменяется по гармоническому закону, и пока кубик движется, он опережает брусок. Из сказанного следует, что брусок от положения равновесия может сместиться на расстояние $\Delta x$. Если коэффициент трения ц достаточно мал, то повторного соударения бруска с кубиком не произойдет, а потому искомое смещение кубика равно $L = u^{2}/2 \mu g = 2k( \Delta x)^{2} / \mu Mg$. Сопоставляя это расстояние с $\Delta x$, получим, что приведенный ответ верен при $\mu \leq 2k \Delta x /Mg$.
