Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 4318
2017-10-15 
По горизонтальной поверхности, плавно переходящей в поднимающуюся наклонную плоскость, катится со скоростью $v$ без проскальзывания тонкостенный обруч. На какую максимальную высоту может подняться этот обруч?
Решение:
Качение обруча без проскальзывания можно представить, как поступательное движение со скоростью $v$ и вращение вокруг собственной оси с угловой скоростью $\omega$. Поэтому скорость $i$-ой точки обруча, обусловленная его вращением, равна $v_{iвр} = \omega r$, где $r$ - радиус обруча, и направлена по касательной к обручу в рассматриваемой точке. Для точки касания обруча с плоскостью скорости поступательного движения и вращения направлены в противоположные стороны, а полная скорость равна нулю, поскольку обруч катится без проскальзывания. Отсюда следует, что $\omega = v/r$. Кинетическая энергия обруча равна сумме кинетических энергий всех его точек, т. е.
$W_{к} = \sum_{i} m_{i} ( v + v_{iвр})^{2}/2 = \sum_{i} m_{i} (v^{2} + 2vv_{iвр} + v_{iвр}^{2} )/2$.
Поскольку в силу однородности обруча массы его диаметрально противоположных точек равны, а их скорости, обусловленные вращением обруча, направлены в противоположные стороны и равны по модулю, то $\sum_{i} m_{i}vv_{iвр} = 0$. Поскольку $v_{iвр}^{2} = v^{2}$, то $W_{к} = \sum_{i} m_{i}v^{2} = Mv^{2}$, где $M$ - масса всего обруча. Из закона сохранения механической энергии следует, что приращение потенциальной энергии обруча при подъеме на высоту $h$ равно убыли его кинетической энергии, т.е. $Mgh = W_{к}$. Отсюда находим, что искомая высота $h = v^{2}/g$.
По горизонтальной поверхности, плавно переходящей в поднимающуюся наклонную плоскость, катится со скоростью $v$ без проскальзывания тонкостенный обруч. На какую максимальную высоту может подняться этот обруч?
Решение:
Качение обруча без проскальзывания можно представить, как поступательное движение со скоростью $v$ и вращение вокруг собственной оси с угловой скоростью $\omega$. Поэтому скорость $i$-ой точки обруча, обусловленная его вращением, равна $v_{iвр} = \omega r$, где $r$ - радиус обруча, и направлена по касательной к обручу в рассматриваемой точке. Для точки касания обруча с плоскостью скорости поступательного движения и вращения направлены в противоположные стороны, а полная скорость равна нулю, поскольку обруч катится без проскальзывания. Отсюда следует, что $\omega = v/r$. Кинетическая энергия обруча равна сумме кинетических энергий всех его точек, т. е.
$W_{к} = \sum_{i} m_{i} ( v + v_{iвр})^{2}/2 = \sum_{i} m_{i} (v^{2} + 2vv_{iвр} + v_{iвр}^{2} )/2$.
Поскольку в силу однородности обруча массы его диаметрально противоположных точек равны, а их скорости, обусловленные вращением обруча, направлены в противоположные стороны и равны по модулю, то $\sum_{i} m_{i}vv_{iвр} = 0$. Поскольку $v_{iвр}^{2} = v^{2}$, то $W_{к} = \sum_{i} m_{i}v^{2} = Mv^{2}$, где $M$ - масса всего обруча. Из закона сохранения механической энергии следует, что приращение потенциальной энергии обруча при подъеме на высоту $h$ равно убыли его кинетической энергии, т.е. $Mgh = W_{к}$. Отсюда находим, что искомая высота $h = v^{2}/g$.
