Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 4316
2017-10-14 
На плоский экран, в котором сделаны две узкие кольцевые концентрические прорези, нормально падает параллельный монохроматический пучок видимого света. Радиус первой кольцевой прорези $r_{1} = 0,7 мм$, а второй - $r_{2} = 2r_{1}$. Найти длину волны $\lambda$ падающего света, если на прямой, проходящей через центр прорезей перпендикулярно экрану, на расстоянии $L = 1 м$ по другую сторону от него наблюдается интерференционный минимум.
Решение:
Поскольку падающий нормально на экран пучок света является параллельным, то волновой фронт, т.е. геометрическое место точек, фазы колебаний в которых одинаковы, совпадает с поверхностью экрана. По условию задачи прорези в экране являются узкими. Поэтому можно считать, что расстояния от любой точки данной прорези до любой точки на оси, проходящей через центр прорези перпендикулярно плоскости экрана, одинаковы.
В соответствии с принципом Гюйгенса-Френеля все точки прорезей можно считать источниками вторичных волн, создающих излучение не только с одинаковыми частотами, но и равными начальными фазами. Поэтому можно утверждать, что волны, приходящие в любую точку на оси, в том числе и в точку А, находящуюся от экрана на расстоянии $L$, нз всех точек данной прорези, будут иметь одинаковые фазы и, следовательно, будут усиливать друг друга. В то же время, как видно нз рис. разность хода волн, приходящих в точку А из точек прорезей, лежащих на одном радиусе, должна быть равна $\Delta = \sqrt{L^{2} + r_{2}^{1}} - \sqrt{L^{2} + r_{1}^{2}}$. Поскольку в точке А по условию задачи наблюдается интерференционный минимум, то эта разность хода должна быть равна нечетному числу половин длин волн падающего на экран света, т.е. $\Delta = 0,5 (2n +1) \lambda$, где $n$ - целое число. Учитывая, что $L \gg r_{1}$ и $\sqrt{1 + \delta} \approx 1 + \delta/2$ при $\delta \ll 1$, полученное соотношение можно представить в виде:
$\Delta = \left ( \sqrt{1 + \frac{r_{2}^{2}}{L^{2}}} - \sqrt{ 1 + \frac{r_{1}^{2}}{L^{2}}} \right ) L \approx \frac{r_{2}^{2} - r_{1}^{2}}{2L} = \frac{3r_{1}^{2}}{2L} = \frac{2n+1}{2} \lambda $
Из этого соотношения следует, что длина волны падающего на экран света должна быть равна
$\lambda = \frac{3r_{1}^{2}}{(2n + 1)L}$
Учитывая, что длины волн видимого света лежат в диапазоне $0,38 мкм < \lambda < 0,76 мкм$, a $L = 1 м$ и $r_{1} = 0,7 мкм$, из этого выражения получим, что $n = 1$, и искомая длина волны света $\lambda = 0,49 мкм$.
На плоский экран, в котором сделаны две узкие кольцевые концентрические прорези, нормально падает параллельный монохроматический пучок видимого света. Радиус первой кольцевой прорези $r_{1} = 0,7 мм$, а второй - $r_{2} = 2r_{1}$. Найти длину волны $\lambda$ падающего света, если на прямой, проходящей через центр прорезей перпендикулярно экрану, на расстоянии $L = 1 м$ по другую сторону от него наблюдается интерференционный минимум.
Решение:
Поскольку падающий нормально на экран пучок света является параллельным, то волновой фронт, т.е. геометрическое место точек, фазы колебаний в которых одинаковы, совпадает с поверхностью экрана. По условию задачи прорези в экране являются узкими. Поэтому можно считать, что расстояния от любой точки данной прорези до любой точки на оси, проходящей через центр прорези перпендикулярно плоскости экрана, одинаковы.
В соответствии с принципом Гюйгенса-Френеля все точки прорезей можно считать источниками вторичных волн, создающих излучение не только с одинаковыми частотами, но и равными начальными фазами. Поэтому можно утверждать, что волны, приходящие в любую точку на оси, в том числе и в точку А, находящуюся от экрана на расстоянии $L$, нз всех точек данной прорези, будут иметь одинаковые фазы и, следовательно, будут усиливать друг друга. В то же время, как видно нз рис. разность хода волн, приходящих в точку А из точек прорезей, лежащих на одном радиусе, должна быть равна $\Delta = \sqrt{L^{2} + r_{2}^{1}} - \sqrt{L^{2} + r_{1}^{2}}$. Поскольку в точке А по условию задачи наблюдается интерференционный минимум, то эта разность хода должна быть равна нечетному числу половин длин волн падающего на экран света, т.е. $\Delta = 0,5 (2n +1) \lambda$, где $n$ - целое число. Учитывая, что $L \gg r_{1}$ и $\sqrt{1 + \delta} \approx 1 + \delta/2$ при $\delta \ll 1$, полученное соотношение можно представить в виде:
$\Delta = \left ( \sqrt{1 + \frac{r_{2}^{2}}{L^{2}}} - \sqrt{ 1 + \frac{r_{1}^{2}}{L^{2}}} \right ) L \approx \frac{r_{2}^{2} - r_{1}^{2}}{2L} = \frac{3r_{1}^{2}}{2L} = \frac{2n+1}{2} \lambda $
Из этого соотношения следует, что длина волны падающего на экран света должна быть равна
$\lambda = \frac{3r_{1}^{2}}{(2n + 1)L}$
Учитывая, что длины волн видимого света лежат в диапазоне $0,38 мкм < \lambda < 0,76 мкм$, a $L = 1 м$ и $r_{1} = 0,7 мкм$, из этого выражения получим, что $n = 1$, и искомая длина волны света $\lambda = 0,49 мкм$.
