Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 4315
2017-10-14 
Точечный источник $S$, дающий свет с длиной волны $\lambda$, помещен в фокус собирающей линзы. За линзой находится призма, склеенная из двух стекол с показателями преломления $n_{1}$ и $n_{2} (n_{1} > n_{2})$. Ось линзы проходит через источник н перпендикулярна основанию призмы (см. рис.). Размер основания призмы $2b$ меньше диаметра линзы. Преломляющие углы призмы $\alpha \ll 1 рад$. Найти максимальное число интерференционных полос, которые можно наблюдать на экране, расположенном перпендикулярно оси линзы за призмой.
Решение:
Поскольку точечный источник помещен в главный фокус линзы, то выходящий из линзы пучок света должен быть параллельным ее главной оптической оси. Учитывая, что по условию задачи эта ось перпендикулярна передней грани призмы, а диаметр линзы больше размеров этой грани, следует считать, что вся призма полностью залита светом и падающий на нее пучок проходит через ее переднюю грань, не изменяя своего направления распространения.
При выходе из призмы пучок света за счет преломления расщепляется на два пучка параллельных лучей. Согласно закону преломления с учетом принятых на рис. обозначений можно утверждать, что оси выходящих пучков образуют с осью падающего на призму пучка углы $\beta_{1}$ и $\beta_{2}$ такие, что $\beta_{1} = \gamma_{1} - \alpha$ и $\beta_{2} = \gamma_{2} - \alpha$, причем $\sin \gamma_{1} = n_{1} \sin \alpha$ и $\sin \gamma_{2} = n_{2} \sin \alpha$. По условию задачи $\alpha \ll 1$. Вспоминая, что синус малого угла можно считать примерно равным самому углу, измеренному в радианной мере, из предыдущих соотношений получим: $\beta_{1} = (n_{1} - 1) \alpha, \beta_{2} = (n_{2} - 2) \alpha$. По условию задачи $n_{1} > n_{2}$. Следовательно, $\beta_{1} > \beta_{2}$, как это и изображено на рис.. Поскольку интерференционная картина может наблюдаться только в области перекрытия выходящих из призмы пучков, т.е. внутри параллелограмма ОВЕК, а плоскость экрана перпендикулярна главной оптической оси линзы, максимальный размер интерференционной картины (в направлении, перпендикулярном интерференционным полосам) должен быть равен длине отрезка АВ. Учитывая, что тангенс малого угла примерно равен самому углу, измеренному в радианной мере, обратившись к рис. 68, получим:
$AB = OD = OC - DC = b - b tg \alpha tg \beta_{1} = [1 - (n_{1} - 1) \alpha^{2}]b$.
Для вычисления ширины $\Delta$ интерференционной полосы обратимся к рис., на котором изображено сечение плоскостью чертежа той части экрана, которая находится в области перекрытия световых пучков. Пусть разность хода пересекающихся в точке $L$ световых лучей 1 и 2 равна нулю. Тогда в этой точке будет наблюдаться интерференционный максимум нулевого порядка, а в точке М максимум первого порядка, если разность хода $x_{1} + x_{2}$ попадающих в эту точку лучей $1^{ \prime}$ и $2^{ \prime}$ будет равна $\lambda$. Поскольку $x_{1} = \Delta \sin \beta_{1} = \Delta \beta_{1}$ и $x_{2} = \Delta \sin \beta_{2} = \Delta \beta_{2}$, то согласно сказанному ранее искомая ширина полосы может быть найдена из соотношения:
$\lambda = ( n_{1} + n_{2} - 1) \alpha \Delta$.
Из этого соотношения видно, что ширина наблюдаемой интерференционной полосы не зависит от расстояния, на котором находится экран от призмы. Поэтому искомое максимальное число интерференционных полос равно целой части отношения
$\frac{AB}{ \Delta } = \frac{(n_{1} + n_{2} - 2)[1 - (n_{1} - 1) \alpha^{2}] b \alpha}{ \lambda}$.
Точечный источник $S$, дающий свет с длиной волны $\lambda$, помещен в фокус собирающей линзы. За линзой находится призма, склеенная из двух стекол с показателями преломления $n_{1}$ и $n_{2} (n_{1} > n_{2})$. Ось линзы проходит через источник н перпендикулярна основанию призмы (см. рис.). Размер основания призмы $2b$ меньше диаметра линзы. Преломляющие углы призмы $\alpha \ll 1 рад$. Найти максимальное число интерференционных полос, которые можно наблюдать на экране, расположенном перпендикулярно оси линзы за призмой.
Решение:
Поскольку точечный источник помещен в главный фокус линзы, то выходящий из линзы пучок света должен быть параллельным ее главной оптической оси. Учитывая, что по условию задачи эта ось перпендикулярна передней грани призмы, а диаметр линзы больше размеров этой грани, следует считать, что вся призма полностью залита светом и падающий на нее пучок проходит через ее переднюю грань, не изменяя своего направления распространения.
При выходе из призмы пучок света за счет преломления расщепляется на два пучка параллельных лучей. Согласно закону преломления с учетом принятых на рис. обозначений можно утверждать, что оси выходящих пучков образуют с осью падающего на призму пучка углы $\beta_{1}$ и $\beta_{2}$ такие, что $\beta_{1} = \gamma_{1} - \alpha$ и $\beta_{2} = \gamma_{2} - \alpha$, причем $\sin \gamma_{1} = n_{1} \sin \alpha$ и $\sin \gamma_{2} = n_{2} \sin \alpha$. По условию задачи $\alpha \ll 1$. Вспоминая, что синус малого угла можно считать примерно равным самому углу, измеренному в радианной мере, из предыдущих соотношений получим: $\beta_{1} = (n_{1} - 1) \alpha, \beta_{2} = (n_{2} - 2) \alpha$. По условию задачи $n_{1} > n_{2}$. Следовательно, $\beta_{1} > \beta_{2}$, как это и изображено на рис.. Поскольку интерференционная картина может наблюдаться только в области перекрытия выходящих из призмы пучков, т.е. внутри параллелограмма ОВЕК, а плоскость экрана перпендикулярна главной оптической оси линзы, максимальный размер интерференционной картины (в направлении, перпендикулярном интерференционным полосам) должен быть равен длине отрезка АВ. Учитывая, что тангенс малого угла примерно равен самому углу, измеренному в радианной мере, обратившись к рис. 68, получим:
$AB = OD = OC - DC = b - b tg \alpha tg \beta_{1} = [1 - (n_{1} - 1) \alpha^{2}]b$.
Для вычисления ширины $\Delta$ интерференционной полосы обратимся к рис., на котором изображено сечение плоскостью чертежа той части экрана, которая находится в области перекрытия световых пучков. Пусть разность хода пересекающихся в точке $L$ световых лучей 1 и 2 равна нулю. Тогда в этой точке будет наблюдаться интерференционный максимум нулевого порядка, а в точке М максимум первого порядка, если разность хода $x_{1} + x_{2}$ попадающих в эту точку лучей $1^{ \prime}$ и $2^{ \prime}$ будет равна $\lambda$. Поскольку $x_{1} = \Delta \sin \beta_{1} = \Delta \beta_{1}$ и $x_{2} = \Delta \sin \beta_{2} = \Delta \beta_{2}$, то согласно сказанному ранее искомая ширина полосы может быть найдена из соотношения:
$\lambda = ( n_{1} + n_{2} - 1) \alpha \Delta$.
Из этого соотношения видно, что ширина наблюдаемой интерференционной полосы не зависит от расстояния, на котором находится экран от призмы. Поэтому искомое максимальное число интерференционных полос равно целой части отношения
$\frac{AB}{ \Delta } = \frac{(n_{1} + n_{2} - 2)[1 - (n_{1} - 1) \alpha^{2}] b \alpha}{ \lambda}$.
