Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 4308
2017-10-14 
Плоскую рамку, состоящую из небольшого числа $N$ витков тонкого провода, вращают вокруг горизонтальной оси, лежащей в плоскости рамки, с угловой скоростью $\omega$ в однородном вертикальном магнитном поле. Концы обмотки замкнуты накоротко, а ее общее сопротивление равно $R$. Пренебрегая индуктивностью обмотки, определить величину $B$ индукции магнитного поля, если площадь каждого из витков равна $S$, а для поддержания вращения к рамке необходимо прикладывать момент сил, в среднем равный $M_{ср}$.
Решение:
Поскольку рамка состоит из небольшого числа витков тонкой проволоки, можно пренебречь потоком магнитного поля, пронизывающим материал ее проводников. Учитывая, что индуктивностью рамки следует пренебречь, т.е. следует пренебречь потоком магнитного поля, созданного током в проводниках рамки, можно утверждать, что при надлежащем выборе начала отсчета времени сцепленный с рамкой поток в момент времени $t$ будет равен $\Phi (t) = BNS \cos \alpha(t)$, где $\alpha(t) = \omega t$ - угол между вектором индукции $\vec{B}$ внешнего поля и нормалью к плоскости рамки. Изменение сцепленного с рамкой потока согласно закону электромагнитной индукции должно привести к возникновению сторонних электрических сил, энергетическая характеристика которых - ЭДС - равна $\mathcal{E}(t) = - d \Phi / dt = BNS \omega \sin \omega t$. Поскольку проводники рамки замкнуты накоротко, а ее общее сопротивление равно $R$, согласно закону Ома при сделанных предположениях ток в проводниках должен быть равен $I(t) = \mathcal{E}(t)/R$. При этом в рамке по закону Джоуля-Ленца должна выделяться мгновенная тепловая мощность, равная $N_{T}(t) = RI^{2}(t)$.
Полагая, что ось рамки неподвижна относительно инерциальной системы отсчета и потенциальная энергия рамки во внешнем поле остается неизменной, на основании закона сохранения энергии можно утверждать, что для поддержания неизменной скорости вращения рамки потери энергии, обусловленные выделением тепла, должны компенсироваться работой внешних сил. Напомним, что по определению момент силы относительно данной оси равен произведению плеча силы $h$ на величину $F$ этой силы. За достаточно малый промежуток времени $\Delta t$ величину силы $F(t)$ можно считать неизменной, а перемещение точки приложения этой силы совпадающим с ее направлением и равным $\Delta r = \omega h \Delta t$. Следовательно, работа источника момента силы за достаточно малый промежуток времени должна быть равна $\Delta A(t) = F(t) \Delta r = M(t) \omega \Delta t$. Отсюда и из сказанного ранее следует, что мгновенная мощность внешней силы
$\omega M(t) = N_{T}(t) = (ВNS \omega \sin \omega t)^{2}/R$.
Учитывая, что среднее значение квадрата гармонической функции за период равно 0,5, а среднее значение момента сил, действующих на рамку, по условию равно $M_{ср}$, из последнего соотношения находим искомую величину индукции магнитного поля:
$B = \frac{ \sqrt{2RM_{ср}}}{ NS \sqrt{ \omega}}$.
Плоскую рамку, состоящую из небольшого числа $N$ витков тонкого провода, вращают вокруг горизонтальной оси, лежащей в плоскости рамки, с угловой скоростью $\omega$ в однородном вертикальном магнитном поле. Концы обмотки замкнуты накоротко, а ее общее сопротивление равно $R$. Пренебрегая индуктивностью обмотки, определить величину $B$ индукции магнитного поля, если площадь каждого из витков равна $S$, а для поддержания вращения к рамке необходимо прикладывать момент сил, в среднем равный $M_{ср}$.
Решение:
Поскольку рамка состоит из небольшого числа витков тонкой проволоки, можно пренебречь потоком магнитного поля, пронизывающим материал ее проводников. Учитывая, что индуктивностью рамки следует пренебречь, т.е. следует пренебречь потоком магнитного поля, созданного током в проводниках рамки, можно утверждать, что при надлежащем выборе начала отсчета времени сцепленный с рамкой поток в момент времени $t$ будет равен $\Phi (t) = BNS \cos \alpha(t)$, где $\alpha(t) = \omega t$ - угол между вектором индукции $\vec{B}$ внешнего поля и нормалью к плоскости рамки. Изменение сцепленного с рамкой потока согласно закону электромагнитной индукции должно привести к возникновению сторонних электрических сил, энергетическая характеристика которых - ЭДС - равна $\mathcal{E}(t) = - d \Phi / dt = BNS \omega \sin \omega t$. Поскольку проводники рамки замкнуты накоротко, а ее общее сопротивление равно $R$, согласно закону Ома при сделанных предположениях ток в проводниках должен быть равен $I(t) = \mathcal{E}(t)/R$. При этом в рамке по закону Джоуля-Ленца должна выделяться мгновенная тепловая мощность, равная $N_{T}(t) = RI^{2}(t)$.
Полагая, что ось рамки неподвижна относительно инерциальной системы отсчета и потенциальная энергия рамки во внешнем поле остается неизменной, на основании закона сохранения энергии можно утверждать, что для поддержания неизменной скорости вращения рамки потери энергии, обусловленные выделением тепла, должны компенсироваться работой внешних сил. Напомним, что по определению момент силы относительно данной оси равен произведению плеча силы $h$ на величину $F$ этой силы. За достаточно малый промежуток времени $\Delta t$ величину силы $F(t)$ можно считать неизменной, а перемещение точки приложения этой силы совпадающим с ее направлением и равным $\Delta r = \omega h \Delta t$. Следовательно, работа источника момента силы за достаточно малый промежуток времени должна быть равна $\Delta A(t) = F(t) \Delta r = M(t) \omega \Delta t$. Отсюда и из сказанного ранее следует, что мгновенная мощность внешней силы
$\omega M(t) = N_{T}(t) = (ВNS \omega \sin \omega t)^{2}/R$.
Учитывая, что среднее значение квадрата гармонической функции за период равно 0,5, а среднее значение момента сил, действующих на рамку, по условию равно $M_{ср}$, из последнего соотношения находим искомую величину индукции магнитного поля:
$B = \frac{ \sqrt{2RM_{ср}}}{ NS \sqrt{ \omega}}$.
