Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 4307
2017-10-14 
По тонкому диэлектрическому кольцу массой $m$, лежащему на гладкой горизонтальной плоскости, равномерно распределен заряд $Q$. Кольцо находится в однородном вертикальном магнитном поле с индукцией $\vec{B}$. Найти угловую скорость, которую приобретет кольцо после выключения магнитного поля.
Решение:
Как обычно, будем считать, что стол, на котором лежит кольцо, покоится относительно инерциального наблюдателя. Кроме того, будем пренебрегать влиянием воздуха на кольцо. Поскольку стол является гладким и горизонтальным, действующая со стороны стола сила реакции имеет лишь вертикальную компоненту, компенсирующую действие сил тяжести на кольцо. При изменении во времени индукции магнитного поля согласно закону электромагнитной индукции в этой области пространства должно возникать вихревое электрическое поле, линии напряженности которого лежат в горизонтальной плоскости. Величину напряженности этого поля можно найти, воспользовавшись правилом потока Фарадея-Максвелла. Как известно, изменение во времени сцепленного с контуром магнитного потока должно порождать в этом контуре появление сторонних электрических сил, модуль ЭДС которых в системе СИ равен $\mathcal{E}(t) = \left | \frac{d \Phi}{dt} \right | = S \left | \frac{dB}{dt} \right |$.
Учитывая, что кольцо является тонким и находится в однородном магнитном поле, можно утверждать, что площадь контура, ограниченного кольцом, равна $S = \pi R^{2}$, а т.к. все точки кольца находятся в идентичных условиях и длина окружности равна $2 \pi R$, то напряженность стороннего электрического поля в любой точке кольца должна быть направлена вдоль касательной к его поверхности, а ее величина должна быть равна $E = \frac{R}{2} \left | \frac{dB}{dt} \right |$. Поскольку кольцо заряжено равномерно, то на любой малый элемент кольца $\Delta l$ будет действовать сила, направленная перпендикулярно радиусу, соединяющему этот элемент с центром кольца, и равная $| \Delta F_{ \tau}| = E | \Delta q| = \frac{R}{2} \left | \frac{dB}{dt} \right | \frac{|Q| \Delta l}{2 \pi R}$. Следовательно, согласно второму закону Ньютона величина тангенциальной составляющей ускорения любой точки кольца при изменении индукции магнитного поля со скоростью $\frac{dB}{dt}$ должна быть равна $| a_{ \tau}| = \frac{| \Delta T_{ \tau}|}{ \Delta m} = \frac{R |Q|}{2m} \left | \frac{dB}{dt} \right |$, т.е. за малый промежуток времени угловая скорость кольца должна измениться на величину $d \omega = \left | \frac{Q}{2m} dB \right |$. Учитывая, что кольцо первоначально покоилось, и суммируя приращения угловых скоростей, найдем искомую максимальную скорость, которую приобретет кольцо при выключении магнитного поля:
$\omega_{max} = \frac{|QB|}{2m}$.
По тонкому диэлектрическому кольцу массой $m$, лежащему на гладкой горизонтальной плоскости, равномерно распределен заряд $Q$. Кольцо находится в однородном вертикальном магнитном поле с индукцией $\vec{B}$. Найти угловую скорость, которую приобретет кольцо после выключения магнитного поля.
Решение:
Как обычно, будем считать, что стол, на котором лежит кольцо, покоится относительно инерциального наблюдателя. Кроме того, будем пренебрегать влиянием воздуха на кольцо. Поскольку стол является гладким и горизонтальным, действующая со стороны стола сила реакции имеет лишь вертикальную компоненту, компенсирующую действие сил тяжести на кольцо. При изменении во времени индукции магнитного поля согласно закону электромагнитной индукции в этой области пространства должно возникать вихревое электрическое поле, линии напряженности которого лежат в горизонтальной плоскости. Величину напряженности этого поля можно найти, воспользовавшись правилом потока Фарадея-Максвелла. Как известно, изменение во времени сцепленного с контуром магнитного потока должно порождать в этом контуре появление сторонних электрических сил, модуль ЭДС которых в системе СИ равен $\mathcal{E}(t) = \left | \frac{d \Phi}{dt} \right | = S \left | \frac{dB}{dt} \right |$.
Учитывая, что кольцо является тонким и находится в однородном магнитном поле, можно утверждать, что площадь контура, ограниченного кольцом, равна $S = \pi R^{2}$, а т.к. все точки кольца находятся в идентичных условиях и длина окружности равна $2 \pi R$, то напряженность стороннего электрического поля в любой точке кольца должна быть направлена вдоль касательной к его поверхности, а ее величина должна быть равна $E = \frac{R}{2} \left | \frac{dB}{dt} \right |$. Поскольку кольцо заряжено равномерно, то на любой малый элемент кольца $\Delta l$ будет действовать сила, направленная перпендикулярно радиусу, соединяющему этот элемент с центром кольца, и равная $| \Delta F_{ \tau}| = E | \Delta q| = \frac{R}{2} \left | \frac{dB}{dt} \right | \frac{|Q| \Delta l}{2 \pi R}$. Следовательно, согласно второму закону Ньютона величина тангенциальной составляющей ускорения любой точки кольца при изменении индукции магнитного поля со скоростью $\frac{dB}{dt}$ должна быть равна $| a_{ \tau}| = \frac{| \Delta T_{ \tau}|}{ \Delta m} = \frac{R |Q|}{2m} \left | \frac{dB}{dt} \right |$, т.е. за малый промежуток времени угловая скорость кольца должна измениться на величину $d \omega = \left | \frac{Q}{2m} dB \right |$. Учитывая, что кольцо первоначально покоилось, и суммируя приращения угловых скоростей, найдем искомую максимальную скорость, которую приобретет кольцо при выключении магнитного поля:
$\omega_{max} = \frac{|QB|}{2m}$.
