Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 4306
2017-10-14 
Тонкий гладкий прямой проводник с малым сопротивлением согнут под углом $\alpha$ и помещен в однородное магнитное поле с индукцией $\vec{B}$ так, что плоскость, в которой располагается проводник, перпендикулярна линиям поля. По этому проводнику с постоянной скоростью $\vec{v}$ (см. рис.) скользит тонкий проводник АС, сопротивление единицы длины которого равно $\rho$. Найти количество теплоты, которое выделится за время смещения проводника АС на расстояние $L$ от точки О. Индуктивностью проводников и сопротивлением контактов между ними пренебречь.
Решение:
При движении проводника АС со стороны магнитного поля на перемещаемые вместе с ним носители заряда действует магнитная составляющая силы Лоренца: $\vec{F}_{лм} = q[ \vec{v}, \vec{B}]$. Под ее действием происходит перераспределение свободных носителей заряда, и в замкнутом контуре АОС течет ток. Поскольку по условию задачи индуктивностью проводников (следовательно, и магнитным полем, создаваемым текущим по проводникам током) следует пренебречь, действующая в указанном контуре ЭДС должна быть равна $\mathcal{E}(t) = Bvx(t)$, где $x(t) = vt tg \alpha$ - длина участка АС движущегося проводника по прошествии времени $t$ после прохождения им вершины угла (точки О) согнутого проводника.
Отметим, что в данном случае величину ЭДС в контуре АОС можно было бы определить, пренебрегая по-прежнему магнитным полем текущего по проводникам контура тока и воспользовавшись законом электромагнитной индукции - правилом потока Фарадея-Максвелла. Однако известно, что правило потока в тех случаях, когда хотя бы часть контура, по которому могут протекать индукционные токи, проходит в движущихся проводниках, может давать неверные результаты. Поэтому здесь ЭДС индукции и была определена с помощью силы Лоренца.
Поскольку по условию задачи сопротивление контактов и согнутого проводника мало по сравнению с сопротивлением движущегося проводника, в контуре АОС согласно закону Ома в момент времени $t$ должен течь ток $I = \mathcal{E}/r(t) = \mathcal{E}/ \rho vt tg \alpha$. Следовательно, согласно закону Джоуля-Ленца в контуре АОС должна в этот момент выделяться тепловая мощность
$N(t) = \frac{ \Delta Q}{ \Delta t} = I^{2} r(t) = \frac{B^{2}v^{3} t tg \alpha}{ \rho}$.
По условию задачи согнутый проводник является гладким. Поэтому можно считать, что выделение тепла обусловлено только протеканием тока в контуре. На рис. показана зависимость выделяющейся тепловой мощности от времени. Учитывая, что за малый промежуток времени $\Delta t$ выделившееся количество теплоты равно $\Delta Q = N(t) \Delta t$, определим количество теплоты, выделяющееся за конечный промежуток времени, как площадь фигуры под графиком $N(t)$. Воспользовавшись формулой для расчета площади прямоугольного треугольника, получим, что при сделанных предположениях за время смещения движущегося проводника на расстояние $L$ от вершины угла согнутого проводника должно выделиться количество теплоты:
$Q(0,L) = B^{2} L^{2} v tg \alpha / 2 \rho$.
Тонкий гладкий прямой проводник с малым сопротивлением согнут под углом $\alpha$ и помещен в однородное магнитное поле с индукцией $\vec{B}$ так, что плоскость, в которой располагается проводник, перпендикулярна линиям поля. По этому проводнику с постоянной скоростью $\vec{v}$ (см. рис.) скользит тонкий проводник АС, сопротивление единицы длины которого равно $\rho$. Найти количество теплоты, которое выделится за время смещения проводника АС на расстояние $L$ от точки О. Индуктивностью проводников и сопротивлением контактов между ними пренебречь.
Решение:
При движении проводника АС со стороны магнитного поля на перемещаемые вместе с ним носители заряда действует магнитная составляющая силы Лоренца: $\vec{F}_{лм} = q[ \vec{v}, \vec{B}]$. Под ее действием происходит перераспределение свободных носителей заряда, и в замкнутом контуре АОС течет ток. Поскольку по условию задачи индуктивностью проводников (следовательно, и магнитным полем, создаваемым текущим по проводникам током) следует пренебречь, действующая в указанном контуре ЭДС должна быть равна $\mathcal{E}(t) = Bvx(t)$, где $x(t) = vt tg \alpha$ - длина участка АС движущегося проводника по прошествии времени $t$ после прохождения им вершины угла (точки О) согнутого проводника.
Отметим, что в данном случае величину ЭДС в контуре АОС можно было бы определить, пренебрегая по-прежнему магнитным полем текущего по проводникам контура тока и воспользовавшись законом электромагнитной индукции - правилом потока Фарадея-Максвелла. Однако известно, что правило потока в тех случаях, когда хотя бы часть контура, по которому могут протекать индукционные токи, проходит в движущихся проводниках, может давать неверные результаты. Поэтому здесь ЭДС индукции и была определена с помощью силы Лоренца.
Поскольку по условию задачи сопротивление контактов и согнутого проводника мало по сравнению с сопротивлением движущегося проводника, в контуре АОС согласно закону Ома в момент времени $t$ должен течь ток $I = \mathcal{E}/r(t) = \mathcal{E}/ \rho vt tg \alpha$. Следовательно, согласно закону Джоуля-Ленца в контуре АОС должна в этот момент выделяться тепловая мощность
$N(t) = \frac{ \Delta Q}{ \Delta t} = I^{2} r(t) = \frac{B^{2}v^{3} t tg \alpha}{ \rho}$.
По условию задачи согнутый проводник является гладким. Поэтому можно считать, что выделение тепла обусловлено только протеканием тока в контуре. На рис. показана зависимость выделяющейся тепловой мощности от времени. Учитывая, что за малый промежуток времени $\Delta t$ выделившееся количество теплоты равно $\Delta Q = N(t) \Delta t$, определим количество теплоты, выделяющееся за конечный промежуток времени, как площадь фигуры под графиком $N(t)$. Воспользовавшись формулой для расчета площади прямоугольного треугольника, получим, что при сделанных предположениях за время смещения движущегося проводника на расстояние $L$ от вершины угла согнутого проводника должно выделиться количество теплоты:
$Q(0,L) = B^{2} L^{2} v tg \alpha / 2 \rho$.
