2014-06-01
Два шарика подвешены рядом на нитях равной длины (рис.). Левый по рисунку шарик отклонили на угол а и отпустили. После соударения шаров левый останавливается, а правый отклоняется на угол $\beta$. На какой угол отклонится левый шар после второго соударения? Считать, что при каждом соударении переходит в тепло одна и та же доля потенциальной энергии деформации шаров.
Решение:
Обозначим через $l$ длину каждой из нитей, через $M$ массу левого и через $m$ массу правого шара. В начальный момент левый шар находится на высоте $h = l (1 - \cos \alpha)$ от нижней точки (рис.). Из закона сохранения энергии следует, что скорость $v$ левого шара в момент столкновения такова, что
$\frac{M v^{2}}{2} = Mgl(1 - \cos \alpha)$,
откуда
$v= \sqrt{2gl (1- \cos \alpha)}$. (1)
Так как второй шар после столкновения поднялся на высоту $h_{1}=l(1- \cos \beta)$, то он имел скорость
$u= \sqrt{2gl (1-\cos \beta)}$. (2)
Но при столкновении шаров их суммарный импульс сохраняется. Поэтому
$M \sqrt{2gl (1 - \cos \alpha)} = m \sqrt{2gl (1- \cos \beta)}$,
откуда
$\frac{M}{m} = \sqrt{\frac{1 - \cos \beta}{1- \cos \alpha}}$. (3)
Обозначим через $W$ механическую энергию, теряемую при первом столкновении. Тогда
$Mgl (1- \cos \alpha) = mgl (1- \cos \beta) + W$. (4)
Пусть отношение энергии $W$ к максимальной потенциальной энергии $W_{p}$, деформации шаров равно $k$. Так как в тот момент, когда деформация шаров максимальна, оба шара движутся как одно целое со скоростью $v_{0}$, то
$Mv=(M+m)v_{0}$,
откуда
$v_{0}=\frac{M}{M+m}v$.
Из закона сохранения энергии следует, что
$\frac{Mv^{2}}{2}=\frac{(M+m)v^{2}_{0}}{2}+W_{p}$
откуда
$W_{p}= \frac{m}{M+m} \frac{Mv^{2}}{2}$.
Так как
$\frac{Mv^{2}}{2}= Mgl (1- \cos \alpha)$,
то
$W_{p}=\frac{mM}{M+m} gl (1- \cos \alpha)$,
или
$W=k \frac{mM}{M+m} gl (1- \cos \alpha)$. (5)
М + т
Подставив это выражение в (4), получим:
$M (1- \cos \alpha) = m (1- \cos \beta) + k \frac{Mm}{M+m} (1- \cos \alpha)$. $(4^{\prime})$
Обозначим через $\gamma$ угол отклонения левого, а через $\delta$ угол отклонения правого шара после второго столкновения. Рассуждая так же, как при выводе равенства $(4^{\prime})$, получим:
$m(1-\cos \beta) = M (1-\cos \gamma) + m (1- \cos \sigma) + k \frac{Mm}{m+M} \times (1-\cos \gamma)$. (6)
С другой стороны, из условия сохранения импульса при втором столкновении имеем:
$m \sqrt{2gl (1- \cos \beta)} = M \sqrt{2gl(1- \cos \gamma)} + m \sqrt{2gl (1- \cos \delta)}$. (7)
Из уравнений ($3$), ($4^{\prime}$), ($6$), ($7$)
находим:
$\gamma=\beta$