Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 4298
2017-10-14 
Три маленьких проводящих шарика, каждый из которых имеет заряд $q$, удерживают в вершинах правильного треугольника со стороной $L$. Масса первого шарика равна $m$, а два других имеют массы, равные $M$. Шарики массой $M$ скреплены между собой легкой тонкой нерастяжимой нитью. Найти скорость первого шарика через достаточно большой промежуток времени после одновременного отпускания всех шариков, полагая, что на шарики не действуют никакие другие тела, а ориентация нити остается неизменной.
Решение:
При решении задачи будем полагать, что первоначально шарики удерживали неподвижно относительно инерциальной системы отсчета, и именно относительно этой системы будем определять скорость первого шарика. Поскольку в условии задачи специально не указывается, в какой среде находятся шарики, будем рассматривать простейший случай, полагая, что они находятся в вакууме.
По условию задачи шарики массой $M$ скреплены тонкой нитью и удерживаются на расстоянии много больше их размеров. Поэтому при решении задачи можно пренебречь зарядами, находящимися на нити, и считать, что заряды на каждом из шариков распределены так же, как они распределились бы, если бы шарики были уединенными. Тогда, учитывая, что шарики являются проводящими, из соображений симметрии можно утверждать, что заряд каждого из шариков должен быть равномерно распределен по его поверхности, а электростатическое поле, создаваемое отдельным шариком, должно быть таким же, как и от точечного заряда $q$ на расстояниях, превышающих радиус шарика.
Поскольку в условии задачи специально не оговаривается, что заряд шариков мал, будем, как обычно, пренебрегать силами гравитационного взаимодействия по сравнению с силами кулоновского взаимодействия между ними, т.е. считать, что $q^{2} \gg 4 \pi \epsilon_{0} GmM$, где $\epsilon_{0}$ - электрическая, a $G$ - гравитационная постоянная. При выполнении этого условия можно утверждать, что между шариками должны действовать силы взаимного отталкивания, т.к. шарики заряжены одноименно.
После отпускания первый шарик начнет двигаться с ускорением, направленным вдоль прямой, перпендикулярной нити и проходящей через ее середину. С ускорением будут двигаться и два других шарика. Если считать, что ускорения шариков достаточно малы, можно пренебречь излучением. Поскольку на шарики и нить по условию задачи после их отпускания не действуют другие тела, то в выбранной системе отсчета суммарный импульс шариков должен оставаться неизменным. Учитывая сказанное и то, что шарики массой $M$ связаны нерастяжимой нитью, ориентация которой не изменяется в процессе движения, из соображений симметрии приходим к выводу, что скорости $\vec{V}$ шариков массой $M$ должны быть равны и удовлетворять соотношению:
$2M \vec{V} + m \vec{v} = 0$,
где $\vec{v}$ - скорость первого шарика.
Очевидно, что по мере удаления первого шарика сила, действующая на него со стороны двух других шариков, будет уменьшаться, а потому ускорения шариков будут изменяться. Поэтому ответить на вопрос задачи на основании второго закона Ньютона будет довольно сложно. Однако ответ на этот вопрос легко получить из энергетических соображений. Действительно, по истечении достаточно большого промежутка времени первый шарик удалится на столь большое расстояние от двух других, что можно будет пренебречь его взаимодействием с ними. Поэтому на основании закона сохранения энергии можно утверждать, что приращение кинетической энергии шариков должно быть равно убыли их потенциальной энергии. Утверждая это, мы по-прежнему пренебрегали, как это обычно и делается в подобных задачах, энергией электромагнитного излучения, возникающего из-за ускоренного движения заряженных шариков.
Вспоминая, что потенциал электростатического поля, создаваемого точечным зарядом $q$ в вакууме на расстоянии $r$ от него, равен $\phi(r) = 1(4 \pi \epsilon_{0} r)^{-1}$, если потенциал бесконечно удаленной от заряда точки считать равным нулю, на основании принципа суперпозиции можно утверждать, что в момент отпускания потенциал электростатического поля, создаваемого двумя другими шариками в точке нахождения первого шарика, равен $\phi_{н} = q(2 \pi \epsilon_{0} L)^{-1}$. Следовательно, по истечении достаточно большого промежутка времени должно иметь место соотношение: $2 q \phi_{н} = mv^{2} + 2MV^{2}$. С учетом ранее сказанного из этого уравнения следует, что искомая скорость первого шарика должна стать равной
$v = \frac{q}{ \sqrt{ \pi \epsilon_{0} Lm (1 + m/2M)}}$.
Три маленьких проводящих шарика, каждый из которых имеет заряд $q$, удерживают в вершинах правильного треугольника со стороной $L$. Масса первого шарика равна $m$, а два других имеют массы, равные $M$. Шарики массой $M$ скреплены между собой легкой тонкой нерастяжимой нитью. Найти скорость первого шарика через достаточно большой промежуток времени после одновременного отпускания всех шариков, полагая, что на шарики не действуют никакие другие тела, а ориентация нити остается неизменной.
Решение:
При решении задачи будем полагать, что первоначально шарики удерживали неподвижно относительно инерциальной системы отсчета, и именно относительно этой системы будем определять скорость первого шарика. Поскольку в условии задачи специально не указывается, в какой среде находятся шарики, будем рассматривать простейший случай, полагая, что они находятся в вакууме.
По условию задачи шарики массой $M$ скреплены тонкой нитью и удерживаются на расстоянии много больше их размеров. Поэтому при решении задачи можно пренебречь зарядами, находящимися на нити, и считать, что заряды на каждом из шариков распределены так же, как они распределились бы, если бы шарики были уединенными. Тогда, учитывая, что шарики являются проводящими, из соображений симметрии можно утверждать, что заряд каждого из шариков должен быть равномерно распределен по его поверхности, а электростатическое поле, создаваемое отдельным шариком, должно быть таким же, как и от точечного заряда $q$ на расстояниях, превышающих радиус шарика.
Поскольку в условии задачи специально не оговаривается, что заряд шариков мал, будем, как обычно, пренебрегать силами гравитационного взаимодействия по сравнению с силами кулоновского взаимодействия между ними, т.е. считать, что $q^{2} \gg 4 \pi \epsilon_{0} GmM$, где $\epsilon_{0}$ - электрическая, a $G$ - гравитационная постоянная. При выполнении этого условия можно утверждать, что между шариками должны действовать силы взаимного отталкивания, т.к. шарики заряжены одноименно.
После отпускания первый шарик начнет двигаться с ускорением, направленным вдоль прямой, перпендикулярной нити и проходящей через ее середину. С ускорением будут двигаться и два других шарика. Если считать, что ускорения шариков достаточно малы, можно пренебречь излучением. Поскольку на шарики и нить по условию задачи после их отпускания не действуют другие тела, то в выбранной системе отсчета суммарный импульс шариков должен оставаться неизменным. Учитывая сказанное и то, что шарики массой $M$ связаны нерастяжимой нитью, ориентация которой не изменяется в процессе движения, из соображений симметрии приходим к выводу, что скорости $\vec{V}$ шариков массой $M$ должны быть равны и удовлетворять соотношению:
$2M \vec{V} + m \vec{v} = 0$,
где $\vec{v}$ - скорость первого шарика.
Очевидно, что по мере удаления первого шарика сила, действующая на него со стороны двух других шариков, будет уменьшаться, а потому ускорения шариков будут изменяться. Поэтому ответить на вопрос задачи на основании второго закона Ньютона будет довольно сложно. Однако ответ на этот вопрос легко получить из энергетических соображений. Действительно, по истечении достаточно большого промежутка времени первый шарик удалится на столь большое расстояние от двух других, что можно будет пренебречь его взаимодействием с ними. Поэтому на основании закона сохранения энергии можно утверждать, что приращение кинетической энергии шариков должно быть равно убыли их потенциальной энергии. Утверждая это, мы по-прежнему пренебрегали, как это обычно и делается в подобных задачах, энергией электромагнитного излучения, возникающего из-за ускоренного движения заряженных шариков.
Вспоминая, что потенциал электростатического поля, создаваемого точечным зарядом $q$ в вакууме на расстоянии $r$ от него, равен $\phi(r) = 1(4 \pi \epsilon_{0} r)^{-1}$, если потенциал бесконечно удаленной от заряда точки считать равным нулю, на основании принципа суперпозиции можно утверждать, что в момент отпускания потенциал электростатического поля, создаваемого двумя другими шариками в точке нахождения первого шарика, равен $\phi_{н} = q(2 \pi \epsilon_{0} L)^{-1}$. Следовательно, по истечении достаточно большого промежутка времени должно иметь место соотношение: $2 q \phi_{н} = mv^{2} + 2MV^{2}$. С учетом ранее сказанного из этого уравнения следует, что искомая скорость первого шарика должна стать равной
$v = \frac{q}{ \sqrt{ \pi \epsilon_{0} Lm (1 + m/2M)}}$.
