Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 4296
2017-10-14 
На $pV$-диаграмме, изображенной на рис., показано изменение состояния одного моля идеального одноатомного газа, используемого в качестве рабочего вещества теплового двигателя. Отношение максимальной абсолютной температуры газа к его минимальной в данном цикле равно $n = 4$. Во сколько раз отличается КПД $\eta$ этого цикла от максимально возможного при заданном значении $n$?
Решение:
Как известно, коэффициент полезного действия цикла равен отношению работы, совершенной газом за цикл, к количеству теплоты, полученному газом от нагревателя за то же время. В рассматриваемом цикле изменение параметров газа происходило квазиравновесно, т.к. в противном случае в противоречии с условием задачи было бы невозможно ввести единое давление во всех частях объема, занятого газом, а потому было бы невозможно графически изобразить цикл.
В силу того, что газ обладает свойством текучести, при квазиравновесном изменении параметров газа, как отмечалось в решении предыдущей задачи, его работа за цикл численно равна площади фигуры, изображающей заданный цикл на $pV$-диаграмме, при надлежащем выборе масштабов на осях этой диаграммы. Будем обозначать давление газа, занимаемый им объем и его абсолютную температуру по шкале Кельвина соответственно символами $p, V$ и $T$, снабжая их индексом, совпадающим с номером точки на $pV$-диаграмме. Вспоминая выражение для площади прямоугольного треугольника, на основании сказанного можно утверждать, что работа газа за цикл равна $A = (p_{2} - p_{1})(V_{2} - V_{1})/2$.
Определим теперь количество теплоты, полученное газом за цикл от нагревателя. На участке 1-2 газ совершает работу $A_{12} = (p_{1} + p_{2})(V_{2} - V_{1})/2$ (см. доказательство в решении задачи 4293). При этом давление и объем газа увеличиваются при неизменном количестве вещества - один моль. Поэтому температура и внутренняя энергия газа должны возрастать. Следовательно, на этом участке газ должен получать тепло. Вспоминая, что внутренняя энергия одного моля идеального одноатомного газа равна $1,5 RT$, где $R$ - универсальная газовая постоянная, на основании первого закона термодинамики найдем количество теплоты, полученное газом на этом участке: $Q_{12} = A_{12} + 1,5R(T_{2} - T_{1})$. На втором участке температура газа уменьшается, и газ не совершает работы. Следовательно, на этом участке газ должен отдавать тепло холодильнику. Можно доказать, что и иа третьем участке газ отдает тепло холодильнику. Таким образом, за цикл газ получает от нагревателя количество теплоты, равное $Q_{12}$.
Строя изотермы, соответствующие температурам газа в заданном цикле, можно доказать, что в точке 1 температура газа минимальна, а в точке 2 - максимальна. Поэтому можно утверждать, что согласно условию задачи и принятым обозначениям $T_{2}/T_{1} = n$. В то же время, согласно уравнению Клапейрона-Менделеева абсолютная температура газа в точке 3 должна быть равна $T_{3} = p_{1} V_{2}/R$. Поскольку на участке 2-3 газ охлаждается изохорически, а на участке 3-1 изобарически, можно утверждать, что $T_{3} = T_{1}V_{2}/V_{1} = p_{1}T_{2}/p_{2}$. Отсюда, с учетом того, что $p_{1}/V_{1} = p_{2}/V_{2}$ (точки 1 и 2 лежат на прямой, проходящей через начало координат $pV$-диаграммы), получим: $T_{3} = \sqrt{T_{1}T_{2}} = \sqrt{n} T_{1}, A = 0,5 RT_{1} ( \sqrt{n} - 1)^{2}, Q_{12} = 2RT_{1}(n - 1)$, а потому КПД заданного цикла $\eta = A/Q_{12} = ( \sqrt{n} - 1)/[4( \sqrt{n} + 1)]$. Учитывая, что максимально достижимый КПД, получающийся при использовании цикла Карно, равен $\eta_{K} = 1 - T_{х}/T_{н} = 1 - n^{-1}$, где $T_{н}$ - абсолютная температура нагревателя, а $T_{к}$ - температура холодильника, найдем искомое отношение:
$x = \frac{ \eta_{K}}{ \eta} = \frac{4 ( \sqrt{n} + 1)^{2}}{n} = 9$.
На $pV$-диаграмме, изображенной на рис., показано изменение состояния одного моля идеального одноатомного газа, используемого в качестве рабочего вещества теплового двигателя. Отношение максимальной абсолютной температуры газа к его минимальной в данном цикле равно $n = 4$. Во сколько раз отличается КПД $\eta$ этого цикла от максимально возможного при заданном значении $n$?
Решение:
Как известно, коэффициент полезного действия цикла равен отношению работы, совершенной газом за цикл, к количеству теплоты, полученному газом от нагревателя за то же время. В рассматриваемом цикле изменение параметров газа происходило квазиравновесно, т.к. в противном случае в противоречии с условием задачи было бы невозможно ввести единое давление во всех частях объема, занятого газом, а потому было бы невозможно графически изобразить цикл.
В силу того, что газ обладает свойством текучести, при квазиравновесном изменении параметров газа, как отмечалось в решении предыдущей задачи, его работа за цикл численно равна площади фигуры, изображающей заданный цикл на $pV$-диаграмме, при надлежащем выборе масштабов на осях этой диаграммы. Будем обозначать давление газа, занимаемый им объем и его абсолютную температуру по шкале Кельвина соответственно символами $p, V$ и $T$, снабжая их индексом, совпадающим с номером точки на $pV$-диаграмме. Вспоминая выражение для площади прямоугольного треугольника, на основании сказанного можно утверждать, что работа газа за цикл равна $A = (p_{2} - p_{1})(V_{2} - V_{1})/2$.
Определим теперь количество теплоты, полученное газом за цикл от нагревателя. На участке 1-2 газ совершает работу $A_{12} = (p_{1} + p_{2})(V_{2} - V_{1})/2$ (см. доказательство в решении задачи 4293). При этом давление и объем газа увеличиваются при неизменном количестве вещества - один моль. Поэтому температура и внутренняя энергия газа должны возрастать. Следовательно, на этом участке газ должен получать тепло. Вспоминая, что внутренняя энергия одного моля идеального одноатомного газа равна $1,5 RT$, где $R$ - универсальная газовая постоянная, на основании первого закона термодинамики найдем количество теплоты, полученное газом на этом участке: $Q_{12} = A_{12} + 1,5R(T_{2} - T_{1})$. На втором участке температура газа уменьшается, и газ не совершает работы. Следовательно, на этом участке газ должен отдавать тепло холодильнику. Можно доказать, что и иа третьем участке газ отдает тепло холодильнику. Таким образом, за цикл газ получает от нагревателя количество теплоты, равное $Q_{12}$.
Строя изотермы, соответствующие температурам газа в заданном цикле, можно доказать, что в точке 1 температура газа минимальна, а в точке 2 - максимальна. Поэтому можно утверждать, что согласно условию задачи и принятым обозначениям $T_{2}/T_{1} = n$. В то же время, согласно уравнению Клапейрона-Менделеева абсолютная температура газа в точке 3 должна быть равна $T_{3} = p_{1} V_{2}/R$. Поскольку на участке 2-3 газ охлаждается изохорически, а на участке 3-1 изобарически, можно утверждать, что $T_{3} = T_{1}V_{2}/V_{1} = p_{1}T_{2}/p_{2}$. Отсюда, с учетом того, что $p_{1}/V_{1} = p_{2}/V_{2}$ (точки 1 и 2 лежат на прямой, проходящей через начало координат $pV$-диаграммы), получим: $T_{3} = \sqrt{T_{1}T_{2}} = \sqrt{n} T_{1}, A = 0,5 RT_{1} ( \sqrt{n} - 1)^{2}, Q_{12} = 2RT_{1}(n - 1)$, а потому КПД заданного цикла $\eta = A/Q_{12} = ( \sqrt{n} - 1)/[4( \sqrt{n} + 1)]$. Учитывая, что максимально достижимый КПД, получающийся при использовании цикла Карно, равен $\eta_{K} = 1 - T_{х}/T_{н} = 1 - n^{-1}$, где $T_{н}$ - абсолютная температура нагревателя, а $T_{к}$ - температура холодильника, найдем искомое отношение:
$x = \frac{ \eta_{K}}{ \eta} = \frac{4 ( \sqrt{n} + 1)^{2}}{n} = 9$.
