Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 4295
2017-10-14 
В качестве рабочего вещества теплового двигателя используется один моль идеального газа, состояние которого изменяется так, как показано на $pV$-диаграмме, изображенной на рис., причем прямые 1-2 и 4-3 параллельны друг другу. Температуры газа по шкале Кельвина в точках 1, 2 и 3 равны $T_{1}, T_{2}$ и $T_{3}$. Найти работу газа за цикл.
Решение:
Согласно условию задачи давление газа во всех точках занимаемого им объема одинаково. Следовательно, можно утверждать, что изменение параметров газа во время цикла осуществляется квазиравновесно, а потому со стороны ограничивающих объем газа поверхностей на него могут действовать силы, направленные только по нормали к этим поверхностям. Поэтому при увеличении объема на величину $\Delta V$ при неизменном давлении $p$ работа газа будет равна $\Delta A = p \Delta V$. Для нахождения работы газа на участках 1-2 и 3-4 разделим весь диапазон изменения объема газа на этих участках на столь малые части $\Delta V$, чтобы в пределах каждой из них давление можно было считать практически неизменным. Тогда работу газа иа каждом из таких малых участков можно будет вычислить, воспользовавшись приведенным выше выражением. Просуммировав все вычисленные таким образом элементарные работы, можно доказать, что работа газа за цикл будет численно равна площади цикла на $pV$-диаграмме при надлежащем выборе масштабов по осям этой диаграммы. Следовательно, если $p_{1}$ - давление газа в точках 1 и 4, а $p_{2}$ - его давление в точках 2 и 3, то, вспоминая выражение для площади параллелограмма, можно утверждать, что газ за цикл должен совершить работу $A = (p_{2} - p_{1})(V_{2} - V_{1})$, где $V_{1}$ - объем газа в точке 1, a $V_{2}$ - его объем в точке 2. Поскольку газ является идеальным и его количество равно одному молю, то на основании уравнения Клапейрона-Менделеева можно утверждать, что $p_{i} V_{i} = RT_{i}$, где $R$ -универсальная газовая постоянная, а $T_{i}$ - абсолютная температура газа по шкале Кельвина в точке с номером $i$. Используя эти соотношения, формулу для расчета работы газа можно переписать в виде:
$A = (T_{1} + T_{2} - T_{4})R - p_{2}V_{1}$. (1)
Поскольку объем газа в точках 2 и 4 по условию задачи одинаков, а фигура, изображающая на $pV$-диаграмме заданный цикл, является параллелограммом, то длины отрезков 1-4 и 2-3 должны быть одинаковы, а потому $V_{1} = 2V_{2} - V_{3}$. Следовательно,
$p_{2}V_{1} = (2T_{2} - T_{3})R$. (2)
Неизвестную температуру в точке 4 определим, учитывая, что объемы газа в точках 2 и 4 одинаковы, а на участке 4-1 газ сжимают изобарически. Следовательно, на основании закона Гей-Люссака можно утверждать, что $V_{1}/T_{1} = V_{2}/T_{4}$ или с учетом полученных ранее соотношений
$T_{4} = T_{1} \frac{V_{2}p_{2}}{V_{1}p_{2}} = \frac{T_{1}T_{1}}{2T_{2} - T_{3}}$. (3)
Подставляя найденные значения $p_{2}V_{1}$ и $T_{4}$ в уравнение (1) и приводя подобные члены, выразим искомую работы газа за цикл через заданные температуры газа и величину универсальной газовой постоянной:
$A = \left ( T_{1} - T_{2} +T_{3} - \frac{T_{1}T_{2}}{2T_{2} - T_{3}} \right )R$.
В качестве рабочего вещества теплового двигателя используется один моль идеального газа, состояние которого изменяется так, как показано на $pV$-диаграмме, изображенной на рис., причем прямые 1-2 и 4-3 параллельны друг другу. Температуры газа по шкале Кельвина в точках 1, 2 и 3 равны $T_{1}, T_{2}$ и $T_{3}$. Найти работу газа за цикл.
Решение:
Согласно условию задачи давление газа во всех точках занимаемого им объема одинаково. Следовательно, можно утверждать, что изменение параметров газа во время цикла осуществляется квазиравновесно, а потому со стороны ограничивающих объем газа поверхностей на него могут действовать силы, направленные только по нормали к этим поверхностям. Поэтому при увеличении объема на величину $\Delta V$ при неизменном давлении $p$ работа газа будет равна $\Delta A = p \Delta V$. Для нахождения работы газа на участках 1-2 и 3-4 разделим весь диапазон изменения объема газа на этих участках на столь малые части $\Delta V$, чтобы в пределах каждой из них давление можно было считать практически неизменным. Тогда работу газа иа каждом из таких малых участков можно будет вычислить, воспользовавшись приведенным выше выражением. Просуммировав все вычисленные таким образом элементарные работы, можно доказать, что работа газа за цикл будет численно равна площади цикла на $pV$-диаграмме при надлежащем выборе масштабов по осям этой диаграммы. Следовательно, если $p_{1}$ - давление газа в точках 1 и 4, а $p_{2}$ - его давление в точках 2 и 3, то, вспоминая выражение для площади параллелограмма, можно утверждать, что газ за цикл должен совершить работу $A = (p_{2} - p_{1})(V_{2} - V_{1})$, где $V_{1}$ - объем газа в точке 1, a $V_{2}$ - его объем в точке 2. Поскольку газ является идеальным и его количество равно одному молю, то на основании уравнения Клапейрона-Менделеева можно утверждать, что $p_{i} V_{i} = RT_{i}$, где $R$ -универсальная газовая постоянная, а $T_{i}$ - абсолютная температура газа по шкале Кельвина в точке с номером $i$. Используя эти соотношения, формулу для расчета работы газа можно переписать в виде:
$A = (T_{1} + T_{2} - T_{4})R - p_{2}V_{1}$. (1)
Поскольку объем газа в точках 2 и 4 по условию задачи одинаков, а фигура, изображающая на $pV$-диаграмме заданный цикл, является параллелограммом, то длины отрезков 1-4 и 2-3 должны быть одинаковы, а потому $V_{1} = 2V_{2} - V_{3}$. Следовательно,
$p_{2}V_{1} = (2T_{2} - T_{3})R$. (2)
Неизвестную температуру в точке 4 определим, учитывая, что объемы газа в точках 2 и 4 одинаковы, а на участке 4-1 газ сжимают изобарически. Следовательно, на основании закона Гей-Люссака можно утверждать, что $V_{1}/T_{1} = V_{2}/T_{4}$ или с учетом полученных ранее соотношений
$T_{4} = T_{1} \frac{V_{2}p_{2}}{V_{1}p_{2}} = \frac{T_{1}T_{1}}{2T_{2} - T_{3}}$. (3)
Подставляя найденные значения $p_{2}V_{1}$ и $T_{4}$ в уравнение (1) и приводя подобные члены, выразим искомую работы газа за цикл через заданные температуры газа и величину универсальной газовой постоянной:
$A = \left ( T_{1} - T_{2} +T_{3} - \frac{T_{1}T_{2}}{2T_{2} - T_{3}} \right )R$.
