Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 4294
2017-10-14 
Давление одного моля идеального одноатомного газа изохорически изменили от начального до некоторого значения. Затем изобарически уменьшили объем газа в $n = 6$ раз. После этого газ изохорически перевели в конечное состояние. Зная, что температура газа в конечном состоянии в $k = 1,5$ раза превышает его температуру в начальном состоянии и полное количество теплоты, которым обменялся газ с внешними телами, равно нулю, найти отношение максимального давления газа к минимальному в этом процессе.
Решение:
Будем считать, что все процессы в газе осуществляются столь медленно, что газ все время находится в состоянии термодинамического равновесия. Если давление, объем и абсолютную температуру газа по шкале Кельвина обозначить символами $p, V$ и $T$ с индексами «н» и «к», когда он находился в начальном и конечном состояниях, соответственно, то на основании уравнения Клапейрона-Менделеева можно утверждать, что
$p_{н} = \frac{RT_{н}}{V_{н}}$ и $p_{к} = \frac{RT_{к}}{V_{к}} = \frac{nkRT_{н}}{V_{н}}$, (1)
где $R$ - универсальная газовая постоянная. При написании этих выражений было учтено, что количество газа остается неизменным и равно одному молю.
По условию задачи полное количество теплоты, которым обменялся газ с внешними телами при переводе его из начального состояния в конечное, равно нулю. Следовательно, согласно первому закону термодинамики
сумма приращения внутренней энергии $\Delta W_{in}$ и работы $A$ газа при переходе его из начального состояния в конечное должна быть равна нулю. Поскольку внутренняя энергия моля идеального одноатомного газа определяется только его температурой и равна $W_{in} = 1,5 RT$, то ее приращение за весь рассматриваемый процесс должно быть равно $\Delta W_{in} = 1,5RT_{н} (k - 1)$. В силу того, что газ обладает свойством текучести, со стороны газа иа ограничивающие его объем поверхности при квазиравновесном изменении параметров могут действовать силы, направленные только по нормали к этим поверхностям. Поэтому работа газа при изохорическом изменении его параметров должна быть тождественно равна нулю. При изобарическом же уменьшении объема работа газа должна быть отрицательной и равной $A = p(V_{к} - V_{н}) = pV_{н} (n^{-1} - 1)$, где $p$ - давление газа в указанном процессе. Из сказанного следует, что изобарическое сжатие газа должно было осуществляться, когда его давление изохорически изменили от первоначального до величины
$p = \frac{3RT_{н}(k-1)}{2V_{н}(1 - n^{-1})}$. (2)
Сопоставляя между собой соотношения (1) и (2) и подставляя в них заданные числовые значения, получим
$p_{н}:p:p_{к} = 1 : \frac{3(k-1)}{2(1-n^{-1})} : kn = 1 : 0,9 : 9$.
Из этого выражения следует, что минимальным давление газа было при его изобарическом сжатии, а максимальным оно оказалось в конечном состоянии. Поэтому искомое отношение при указанных условиях равно
$x = \frac{p_{max}}{p_{min}} = 10$.
Давление одного моля идеального одноатомного газа изохорически изменили от начального до некоторого значения. Затем изобарически уменьшили объем газа в $n = 6$ раз. После этого газ изохорически перевели в конечное состояние. Зная, что температура газа в конечном состоянии в $k = 1,5$ раза превышает его температуру в начальном состоянии и полное количество теплоты, которым обменялся газ с внешними телами, равно нулю, найти отношение максимального давления газа к минимальному в этом процессе.
Решение:
Будем считать, что все процессы в газе осуществляются столь медленно, что газ все время находится в состоянии термодинамического равновесия. Если давление, объем и абсолютную температуру газа по шкале Кельвина обозначить символами $p, V$ и $T$ с индексами «н» и «к», когда он находился в начальном и конечном состояниях, соответственно, то на основании уравнения Клапейрона-Менделеева можно утверждать, что
$p_{н} = \frac{RT_{н}}{V_{н}}$ и $p_{к} = \frac{RT_{к}}{V_{к}} = \frac{nkRT_{н}}{V_{н}}$, (1)
где $R$ - универсальная газовая постоянная. При написании этих выражений было учтено, что количество газа остается неизменным и равно одному молю.
По условию задачи полное количество теплоты, которым обменялся газ с внешними телами при переводе его из начального состояния в конечное, равно нулю. Следовательно, согласно первому закону термодинамики
сумма приращения внутренней энергии $\Delta W_{in}$ и работы $A$ газа при переходе его из начального состояния в конечное должна быть равна нулю. Поскольку внутренняя энергия моля идеального одноатомного газа определяется только его температурой и равна $W_{in} = 1,5 RT$, то ее приращение за весь рассматриваемый процесс должно быть равно $\Delta W_{in} = 1,5RT_{н} (k - 1)$. В силу того, что газ обладает свойством текучести, со стороны газа иа ограничивающие его объем поверхности при квазиравновесном изменении параметров могут действовать силы, направленные только по нормали к этим поверхностям. Поэтому работа газа при изохорическом изменении его параметров должна быть тождественно равна нулю. При изобарическом же уменьшении объема работа газа должна быть отрицательной и равной $A = p(V_{к} - V_{н}) = pV_{н} (n^{-1} - 1)$, где $p$ - давление газа в указанном процессе. Из сказанного следует, что изобарическое сжатие газа должно было осуществляться, когда его давление изохорически изменили от первоначального до величины
$p = \frac{3RT_{н}(k-1)}{2V_{н}(1 - n^{-1})}$. (2)
Сопоставляя между собой соотношения (1) и (2) и подставляя в них заданные числовые значения, получим
$p_{н}:p:p_{к} = 1 : \frac{3(k-1)}{2(1-n^{-1})} : kn = 1 : 0,9 : 9$.
Из этого выражения следует, что минимальным давление газа было при его изобарическом сжатии, а максимальным оно оказалось в конечном состоянии. Поэтому искомое отношение при указанных условиях равно
$x = \frac{p_{max}}{p_{min}} = 10$.
