Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 4293
2017-10-14 
Найти удельную теплоемкость идеального одноатомного газа, если нагревание осуществляется так, что среднеквадратичная скорость $u$ теплового движения его атомов массой $m$ увеличивается прямо пропорционально давлению $p$.
Решение:
Как известно, частицы идеального газа не взаимодействуют между собой. Следовательно, внутренняя энергия такого газа определяется лишь кинетической энергией хаотического движения его частиц. При использовании шкалы температур Кельвина внутренняя энергия одного моля идеального одноатомного газа равна $3RT/2$, где $R$ - универсальная газовая постоянная. С другой стороны, кинетическая энергия одного моля частиц массой $m$, среднеквадратичная скорость которых равна $u$, равна $mu^{2}N_{A}/2$, где $N_{A}$ - число Авогадро. Поэтому, вспоминая, что постоянная Больцмана $k = R/N_{A}$, можно утверждать, что абсолютная температура таких частиц $T = mu^{2}/3k$. По условию задачи нагревание ведется так, что среднеквадратичная скорость $u$ теплового движения атомов и давление газа $p$ связаны между собой соотношением: $u = \alpha p$, где $\alpha$ - постоянный коэффициент пропорциональности. Поэтому, учитывая, что согласно уравнению Клапейрона-Менделеева объем одного моля идеального газа при давлении $p$ и температуре $T$ равен $V = RT/p$, можно утверждать, что с ростом температуры объем газа и его давление $p$ будут увеличиваться пропорционально квадратному корню из абсолютной температуры. Следовательно, при заданном способе нагревания одновременно будет увеличиваться внутренняя энергия газа и газ будет совершать работу. Если, как обычно, считать, что нагревание газа происходит столь медленно, что он практически все время находится в состоянии термодинамического равновесия, то зависимость давления газа от занимаемого им объема согласно сказанному должна иметь вид, показанный на $pV$-диаграмме (см. рис.).
Поскольку, силы, действующие на стенки сосуда со стороны газа при квазиравновесном изменении его состояния направлены перпендикулярно стенкам, работа газа при увеличении его объема на величину $\Delta V$ при постоянном давлении $p$ равна $\Delta A = p \Delta V$. Поэтому можно утверждать, что работа газа при квазиравновесном изменении давления пропорциональна площади $pV$-диаграммы, ограниченной графиком $p(V)$, перпендикулярами, восставленными к оси $V$ в точках, соответствующих начальному $V_{1} = V(T)$ и конечному $V_{2} = V(T + \Delta T)$ объемам газа, и осью $V$. Используя формулу для вычисления площади трапеции, найдем работу моля газа при его нагревании от температуры $T$ до температуры $T + \Delta T$:
$A(T, T + \Delta T) = \frac{(p_{1} + p_{2})(V_{2} - V_{1})}{2} = \frac{R \Delta T}{2}$,
т.к. согласно сказанному ранее при температуре $T$ объем моля газа и его давление должны быть равны $V(T) = R \alpha \sqrt{ \frac{mT}{3k}}$ и $p(T) = \alpha^{-1} \sqrt{ \frac{3kT}{m}}$. На основании этого с учетом первого закона термодинамики можно утверждать, что для увеличения температуры моля газа при заданных условиях на $\Delta T$ градусов необходимо затратить количество теплоты $\Delta Q = \Delta W_{in} + \Delta A = 2R \Delta T$. Следовательно, молярная теплоемкость газа $c_{ \mu} = 2R$, а т.к. масса моля данного газа $\mu = mN_{A}$, то искомая удельная теплоемкость должна быть равна $c = c_{ \mu}/ \mu = 2km$.
Найти удельную теплоемкость идеального одноатомного газа, если нагревание осуществляется так, что среднеквадратичная скорость $u$ теплового движения его атомов массой $m$ увеличивается прямо пропорционально давлению $p$.
Решение:
Как известно, частицы идеального газа не взаимодействуют между собой. Следовательно, внутренняя энергия такого газа определяется лишь кинетической энергией хаотического движения его частиц. При использовании шкалы температур Кельвина внутренняя энергия одного моля идеального одноатомного газа равна $3RT/2$, где $R$ - универсальная газовая постоянная. С другой стороны, кинетическая энергия одного моля частиц массой $m$, среднеквадратичная скорость которых равна $u$, равна $mu^{2}N_{A}/2$, где $N_{A}$ - число Авогадро. Поэтому, вспоминая, что постоянная Больцмана $k = R/N_{A}$, можно утверждать, что абсолютная температура таких частиц $T = mu^{2}/3k$. По условию задачи нагревание ведется так, что среднеквадратичная скорость $u$ теплового движения атомов и давление газа $p$ связаны между собой соотношением: $u = \alpha p$, где $\alpha$ - постоянный коэффициент пропорциональности. Поэтому, учитывая, что согласно уравнению Клапейрона-Менделеева объем одного моля идеального газа при давлении $p$ и температуре $T$ равен $V = RT/p$, можно утверждать, что с ростом температуры объем газа и его давление $p$ будут увеличиваться пропорционально квадратному корню из абсолютной температуры. Следовательно, при заданном способе нагревания одновременно будет увеличиваться внутренняя энергия газа и газ будет совершать работу. Если, как обычно, считать, что нагревание газа происходит столь медленно, что он практически все время находится в состоянии термодинамического равновесия, то зависимость давления газа от занимаемого им объема согласно сказанному должна иметь вид, показанный на $pV$-диаграмме (см. рис.).
Поскольку, силы, действующие на стенки сосуда со стороны газа при квазиравновесном изменении его состояния направлены перпендикулярно стенкам, работа газа при увеличении его объема на величину $\Delta V$ при постоянном давлении $p$ равна $\Delta A = p \Delta V$. Поэтому можно утверждать, что работа газа при квазиравновесном изменении давления пропорциональна площади $pV$-диаграммы, ограниченной графиком $p(V)$, перпендикулярами, восставленными к оси $V$ в точках, соответствующих начальному $V_{1} = V(T)$ и конечному $V_{2} = V(T + \Delta T)$ объемам газа, и осью $V$. Используя формулу для вычисления площади трапеции, найдем работу моля газа при его нагревании от температуры $T$ до температуры $T + \Delta T$:
$A(T, T + \Delta T) = \frac{(p_{1} + p_{2})(V_{2} - V_{1})}{2} = \frac{R \Delta T}{2}$,
т.к. согласно сказанному ранее при температуре $T$ объем моля газа и его давление должны быть равны $V(T) = R \alpha \sqrt{ \frac{mT}{3k}}$ и $p(T) = \alpha^{-1} \sqrt{ \frac{3kT}{m}}$. На основании этого с учетом первого закона термодинамики можно утверждать, что для увеличения температуры моля газа при заданных условиях на $\Delta T$ градусов необходимо затратить количество теплоты $\Delta Q = \Delta W_{in} + \Delta A = 2R \Delta T$. Следовательно, молярная теплоемкость газа $c_{ \mu} = 2R$, а т.к. масса моля данного газа $\mu = mN_{A}$, то искомая удельная теплоемкость должна быть равна $c = c_{ \mu}/ \mu = 2km$.
