Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 4289
2017-10-14 
Прямоугольный сосуд разделен на две равные части гладким толстым поршнем, ось которого горизонтальна. Левая часть сосуда длиной $L$ полностью заполнена ртутью. При этом ртуть практически не оказывает давления на верхнюю грань сосуда. В правой части сосуда находится воздух. Пренебрегая тепловым расширением сосуда, поршня и ртути, а также давлением насыщенных паров ртути, найти перемещение поршня при медленном уменьшении абсолютной температуры сосуда с содержимым в $n = 1,5$ раза. Считать, что при конечной температуре ртуть остается жидкой.
Решение:
Как обычно, при решении данной задачи будем полагать, что сосуд и его содержимое покоятся относительно лабораторной системы отсчета, а эта система является инерциальной. Поскольку поршень толстый, а его ось горизонтальна, то его плоскости, соприкасающиеся с ртутью и воздухом, всегда должны оставаться вертикальными. Наконец, учитывая, что по условию задачи поршень является гладким, можно утверждать, что он будет находиться в равновесии при равенстве сил, действующих на него со стороны ртути и воздуха. В исходном состоянии ртуть полностью заполняла левую часть сосуда, но не оказывала давления на его верхнюю грань. По условию задачи следует пренебречь давлением насыщенных паров ртути. Будем также пренебрегать сжимаемостью ртути и считать плотность воздуха внутри заполненной им части сосуда постоянной при неизменных температуре и объеме. Тогда можно утверждать, что при первоначальной температуре давление воздуха должно было быть равным $p_{1} = \rho gh/2$, где $\rho$ - плотность ртути, $g$ - ускорение свободного падения, а $h$ - высота поршня. Поскольку при медленном охлаждении давление воздуха при неизменном его количестве должно медленно падать, можно пренебречь ускорением поршня и считать, что уровень ртути в левой части сосуда понижается монотонно. Если высоту столба ртути при конечной температуре обозначить $h_{2}$ (см. рис.), то давление воздуха в правой части сосуда при конечной температуре с учетом сделанных предположений должно удовлетворять соотношению $p_{2}h = \rho gh_{2}^{2} / 2$. Поскольку ртуть мы считаем несжимаемой и в соответствии с условием следует пренебречь тепловым расширением сосуда с поршнем, то интересующее нас перемещение поршня $x$ должно удовлетворять соотношению: $hL = h_{2}(L + x)$, т.к. площадь сечения сосуда постоянна.
Полагая, как обычно, что при реализуемых в ходе охлаждения условиях поведение воздуха описывается уравнениями, справедливыми для идеальных газов, на основании объединенного газового закона получим: $p_{1}V_{1} = np_{2}V_{2}$, или $p_{1}L = np_{2}(L - x)$. Для упрощения дальнейших вычислений обозначим $x/L = z$. Тогда из составленных ранее уравнений следует, что $p_{1} / p_{2} = h^{2} / h_{2}^{2} = (1 + z)^{2} = (1 - z)n$. Последнее соотношение эквивалентно уравнению $z^{2} + (2 + n)z + 1 - n = 0$. Решая это уравнение и выбирая корень, удовлетворяющий допустимым значениям $z$, найдем интересующее перемещение поршня:
$x = 0,5( \sqrt{n(n+8)} - 2 - n)L = 0,25 ( \sqrt{57} - 7)L \approx 0,14L$.
Прямоугольный сосуд разделен на две равные части гладким толстым поршнем, ось которого горизонтальна. Левая часть сосуда длиной $L$ полностью заполнена ртутью. При этом ртуть практически не оказывает давления на верхнюю грань сосуда. В правой части сосуда находится воздух. Пренебрегая тепловым расширением сосуда, поршня и ртути, а также давлением насыщенных паров ртути, найти перемещение поршня при медленном уменьшении абсолютной температуры сосуда с содержимым в $n = 1,5$ раза. Считать, что при конечной температуре ртуть остается жидкой.
Решение:
Как обычно, при решении данной задачи будем полагать, что сосуд и его содержимое покоятся относительно лабораторной системы отсчета, а эта система является инерциальной. Поскольку поршень толстый, а его ось горизонтальна, то его плоскости, соприкасающиеся с ртутью и воздухом, всегда должны оставаться вертикальными. Наконец, учитывая, что по условию задачи поршень является гладким, можно утверждать, что он будет находиться в равновесии при равенстве сил, действующих на него со стороны ртути и воздуха. В исходном состоянии ртуть полностью заполняла левую часть сосуда, но не оказывала давления на его верхнюю грань. По условию задачи следует пренебречь давлением насыщенных паров ртути. Будем также пренебрегать сжимаемостью ртути и считать плотность воздуха внутри заполненной им части сосуда постоянной при неизменных температуре и объеме. Тогда можно утверждать, что при первоначальной температуре давление воздуха должно было быть равным $p_{1} = \rho gh/2$, где $\rho$ - плотность ртути, $g$ - ускорение свободного падения, а $h$ - высота поршня. Поскольку при медленном охлаждении давление воздуха при неизменном его количестве должно медленно падать, можно пренебречь ускорением поршня и считать, что уровень ртути в левой части сосуда понижается монотонно. Если высоту столба ртути при конечной температуре обозначить $h_{2}$ (см. рис.), то давление воздуха в правой части сосуда при конечной температуре с учетом сделанных предположений должно удовлетворять соотношению $p_{2}h = \rho gh_{2}^{2} / 2$. Поскольку ртуть мы считаем несжимаемой и в соответствии с условием следует пренебречь тепловым расширением сосуда с поршнем, то интересующее нас перемещение поршня $x$ должно удовлетворять соотношению: $hL = h_{2}(L + x)$, т.к. площадь сечения сосуда постоянна.
Полагая, как обычно, что при реализуемых в ходе охлаждения условиях поведение воздуха описывается уравнениями, справедливыми для идеальных газов, на основании объединенного газового закона получим: $p_{1}V_{1} = np_{2}V_{2}$, или $p_{1}L = np_{2}(L - x)$. Для упрощения дальнейших вычислений обозначим $x/L = z$. Тогда из составленных ранее уравнений следует, что $p_{1} / p_{2} = h^{2} / h_{2}^{2} = (1 + z)^{2} = (1 - z)n$. Последнее соотношение эквивалентно уравнению $z^{2} + (2 + n)z + 1 - n = 0$. Решая это уравнение и выбирая корень, удовлетворяющий допустимым значениям $z$, найдем интересующее перемещение поршня:
$x = 0,5( \sqrt{n(n+8)} - 2 - n)L = 0,25 ( \sqrt{57} - 7)L \approx 0,14L$.
