Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 4288
2017-10-14 
В запаянной с обоих концов $U$-образной трубке, частично заполненной водой, в одном из колен находится воздух, а из другого колена воздух полностью удален. При температуре $t_{1} = 27^{ \circ} С$ уровень воды в колене, содержащем воздух, ниже запаянного торца трубки на $L_{1} = 80 см$, а перепад уровней воды в коленах равен $h_{1} =50 см$. Найти изменение разности уровней воды в коленах после нагревания трубки до температуры $t_{2} =87^{ \circ} С$, пренебрегая тепловым расширением и объемом испарившейся воды.
Решение:
При решении задачи будем полагать, что 1) трубка покоится относительно лабораторной системы отсчета, являющейся инерциальной; 2) трубка имеет постоянное поперечное сечение; 3) колена трубки располагаются строго вертикально; 4) давление в коленах трубки над поверхностью воды не изменяется по мере удаления от этой поверхности; 5) нагревание трубки осуществляется столь медленно, что в трубке все время имеет место состояние термодинамического равновесия; 6) изменение состояния находящегося в трубке воздуха в рассматриваемом диапазоне температур и давлений с требуемой точностью описывается уравнением Клапейрона-Менделеева.
При соблюдении этих предположений можно утверждать, что давление на поверхность воды в колене, из которого удален воздух, равно давлению насыщенных паров воды, а в другом колене равно сумме парциальных давлений воздуха и насыщенных паров воды. Поэтому перепад уровней воды в коленах трубки должен быть равен парциальному давлению воздуха. Следовательно, если измерять давления в разных частях трубки в единицах высоты водяного столба, то парциальное давление воздуха $p_{1}$ при начальной температуре должно быть равно $h_{1}$. При нагревании уровень воды в колене, содержащем воздух, должен понижаться, т.к. давление на поверхность воды в этом колене при неизменном ее уровне должно было бы возрастать быстрее, чем в другом колене, не только за счет роста давления насыщенных паров воды, но и за счет роста давления воздуха. В дополнение к сделанным предположениям, будем считать, что при нагревании до конечной температуры уровень воды в колене, содержащем воздух, остается выше верхней точки среднего сечения трубки, а потому воздух не может проникнуть в другое колено. Тогда на основании объединенного газового закона можно утверждать, что парциальное давление воздуха при конечной температуре должно стать равным
$p_{2} = h_{2} = \frac{h_{1}L_{1}T_{2}}{L_{2}T_{1}}$, (1)
где $T_{i} \approx t_{i} + 273$ - абсолютная температура содержимого трубки в начальном ($i = 1$) и конечном ($i = 2$) состояниях, a $L_{2}$ - высота столба воздуха при конечной температуре. При выводе этого соотношения учитывалось сделанное выше предположение о постоянстве поперечного сечения трубки. В соответствии с условием задачи и сделанными предположениями естественно пренебречь сжимаемостью воды, а потому считать ее объем неизменным. Тогда можно утверждать, что искомое изменение разности уровней воды в коленах трубки $x = h_{2} - h_{1}$ должно быть величиной положительной и удовлетворять условию $L_{2} - L_{1} = x/2$. Используя два последних соотношения, уравнение (1) можно представить в виде:
$L_{1} h_{1} T_{2} = (L_{1} + x/2)(h_{1} + x)T_{1}$.
Из этого уравнения следует, что искомое изменение разности уровней воды в коленах трубки после ее нагревания прн выполнении сделанных выше предположений должно быть равно
$x = \sqrt{(L_{1} + h_{1}/2)^{2} + 2h_{1}L_{1}(T_{2} - T_{1})/T_{1}} - (L_{1} + h_{1}/2) \approx 7,4 см$.
В запаянной с обоих концов $U$-образной трубке, частично заполненной водой, в одном из колен находится воздух, а из другого колена воздух полностью удален. При температуре $t_{1} = 27^{ \circ} С$ уровень воды в колене, содержащем воздух, ниже запаянного торца трубки на $L_{1} = 80 см$, а перепад уровней воды в коленах равен $h_{1} =50 см$. Найти изменение разности уровней воды в коленах после нагревания трубки до температуры $t_{2} =87^{ \circ} С$, пренебрегая тепловым расширением и объемом испарившейся воды.
Решение:
При решении задачи будем полагать, что 1) трубка покоится относительно лабораторной системы отсчета, являющейся инерциальной; 2) трубка имеет постоянное поперечное сечение; 3) колена трубки располагаются строго вертикально; 4) давление в коленах трубки над поверхностью воды не изменяется по мере удаления от этой поверхности; 5) нагревание трубки осуществляется столь медленно, что в трубке все время имеет место состояние термодинамического равновесия; 6) изменение состояния находящегося в трубке воздуха в рассматриваемом диапазоне температур и давлений с требуемой точностью описывается уравнением Клапейрона-Менделеева.
При соблюдении этих предположений можно утверждать, что давление на поверхность воды в колене, из которого удален воздух, равно давлению насыщенных паров воды, а в другом колене равно сумме парциальных давлений воздуха и насыщенных паров воды. Поэтому перепад уровней воды в коленах трубки должен быть равен парциальному давлению воздуха. Следовательно, если измерять давления в разных частях трубки в единицах высоты водяного столба, то парциальное давление воздуха $p_{1}$ при начальной температуре должно быть равно $h_{1}$. При нагревании уровень воды в колене, содержащем воздух, должен понижаться, т.к. давление на поверхность воды в этом колене при неизменном ее уровне должно было бы возрастать быстрее, чем в другом колене, не только за счет роста давления насыщенных паров воды, но и за счет роста давления воздуха. В дополнение к сделанным предположениям, будем считать, что при нагревании до конечной температуры уровень воды в колене, содержащем воздух, остается выше верхней точки среднего сечения трубки, а потому воздух не может проникнуть в другое колено. Тогда на основании объединенного газового закона можно утверждать, что парциальное давление воздуха при конечной температуре должно стать равным
$p_{2} = h_{2} = \frac{h_{1}L_{1}T_{2}}{L_{2}T_{1}}$, (1)
где $T_{i} \approx t_{i} + 273$ - абсолютная температура содержимого трубки в начальном ($i = 1$) и конечном ($i = 2$) состояниях, a $L_{2}$ - высота столба воздуха при конечной температуре. При выводе этого соотношения учитывалось сделанное выше предположение о постоянстве поперечного сечения трубки. В соответствии с условием задачи и сделанными предположениями естественно пренебречь сжимаемостью воды, а потому считать ее объем неизменным. Тогда можно утверждать, что искомое изменение разности уровней воды в коленах трубки $x = h_{2} - h_{1}$ должно быть величиной положительной и удовлетворять условию $L_{2} - L_{1} = x/2$. Используя два последних соотношения, уравнение (1) можно представить в виде:
$L_{1} h_{1} T_{2} = (L_{1} + x/2)(h_{1} + x)T_{1}$.
Из этого уравнения следует, что искомое изменение разности уровней воды в коленах трубки после ее нагревания прн выполнении сделанных выше предположений должно быть равно
$x = \sqrt{(L_{1} + h_{1}/2)^{2} + 2h_{1}L_{1}(T_{2} - T_{1})/T_{1}} - (L_{1} + h_{1}/2) \approx 7,4 см$.
