Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 4285
2017-10-14 
На гладкой плоскости, образующей с горизонтом угол $\alpha$, лежит доска массой $M$, упирающаяся нижней кромкой в легкую пружину, другой конец которой закреплен. Сила упругости пружины направлена вдоль оси симметрии доски. В свою очередь, ось доски перпендикулярна ребру двугранного угла, образованного плоскостью с горизонтом. На середину доски опускают без начальной скорости брусок массой $m$. При каком коэффициенте трения между доской и бруском он будет оставаться неподвижным относительно доски при ее дальнейшем движении?
Решение:
Будем решать задачу, пренебрегая влиянием воздуха на движение тел и считая, как обычно, лабораторную систему отсчета, относительно которой покоится плоскость, инерциальной. Кроме того, будем полагать, что деформации пружины являются абсолютно упругими. По условию задачи сила упругости пружины направлена вдоль оси симметрии доски, а брусок кладут на середину покоящейся доски. Учитывая, что ось доски перпендикулярна ребру двугранного угла, образованного гладкой наклонной плоскостью с горизонтом, можно считать, что линии действия всех сил, приложенных к доске и бруску, лежат в вертикальной плоскости, проходящей через указанную ось. Поэтому можно утверждать, что после отпускания бруска доска вместе с ним начнет двигаться поступательно с ускорением, направленным вдоль оси доски вниз. Совместим с этим направлением ось ОХ и выберем начало отсчета совпадающим с тем положением, в котором находился бы нижний край доски при недеформированной пружине. Тогда, учитывая, что силы трения между доской и бруском согласно третьему закону Ньютона равны по величине и противоположны по направлению, уравнения движения бруска и доски в проекции на ось ОХ согласно второму закону Ньютона можно представить в виде:
$m \ddot{x} = mg \sin \alpha + F_{трx}, M \ddot{x} = Mg \sin \alpha - F_{трx} - kx$,
где $g$ - величина ускорения свободного падения, а $F_{трx}$ - проекция на ось ОХ силы трения покоя, действующей на брусок со стороны доски. Из второго уравнения следует, что пока на доску не положили брусок, координата ее нижнего края в положении равновесия ($\ddot{x} = 0$) должна была быть равна $x_{0} = (Mg \sin \alpha)/k$. Складывая почленно приведенные уравнения, получим $(M + m) \ddot{x} = (M + m) g \sin \alpha - kx$. Следовательно, после того, как на доску положили брусок, координата нижнего края доски в новом равновесном положении станет равной $x_{1} = [(M + m)g \sin \alpha]/k$, а уравнение движения доски с бруском можно представить в виде $(M + m) \ddot{x} = - k(x - x_{1})$. Из этого уравнения следует, что ускорение движущихся тел пропорционально их смещению от положения равновесия и направлено к этому положению. Следовательно, после отпускания бруска доска вместе с ним будет совершать гармонические колебания вдоль оси ОХ с частотой $\omega = \sqrt{k / (M + m)}$ и амплитудой $|x_{max}| = x_{1} - x_{0} = (mg \sin \alpha )/k$. Поскольку проекция на ось ОХ действующей на брусок силы тяжести положительна, а его ускорение в крайнем нижнем положении направлено вверх вдоль оси ОХ и максимально по величине, то согласно уравнению движения именно в этом положении величина силы сухого трения покоя должна стать максимальной и равной $F_{тр}^{ max} = ( g \sin \alpha + | \ddot{x}_{max} | ) m = [(M + 2m)mg \sin \alpha] / (M+m)$, т.к. амплитуда ускорения в $\omega^{2}$ раз превышает амплитуду смещения и равна $| \ddot{x}_{max} | = kx_{max} /(M + m)$. С другой стороны, согласно закону Кулона максимальная величина силы сухого трения покоя равна произведению коэффициента трения на величину нормальной составляющей силы реакции опоры, т.е. $F_{тр}^{max} = \mu mg \cos \alpha$. Поэтому искомый коэффициент трения должен удовлетворять неравенству:
$\mu \geq \frac{2m + M}{m+M} tg \alpha$.
На гладкой плоскости, образующей с горизонтом угол $\alpha$, лежит доска массой $M$, упирающаяся нижней кромкой в легкую пружину, другой конец которой закреплен. Сила упругости пружины направлена вдоль оси симметрии доски. В свою очередь, ось доски перпендикулярна ребру двугранного угла, образованного плоскостью с горизонтом. На середину доски опускают без начальной скорости брусок массой $m$. При каком коэффициенте трения между доской и бруском он будет оставаться неподвижным относительно доски при ее дальнейшем движении?
Решение:
Будем решать задачу, пренебрегая влиянием воздуха на движение тел и считая, как обычно, лабораторную систему отсчета, относительно которой покоится плоскость, инерциальной. Кроме того, будем полагать, что деформации пружины являются абсолютно упругими. По условию задачи сила упругости пружины направлена вдоль оси симметрии доски, а брусок кладут на середину покоящейся доски. Учитывая, что ось доски перпендикулярна ребру двугранного угла, образованного гладкой наклонной плоскостью с горизонтом, можно считать, что линии действия всех сил, приложенных к доске и бруску, лежат в вертикальной плоскости, проходящей через указанную ось. Поэтому можно утверждать, что после отпускания бруска доска вместе с ним начнет двигаться поступательно с ускорением, направленным вдоль оси доски вниз. Совместим с этим направлением ось ОХ и выберем начало отсчета совпадающим с тем положением, в котором находился бы нижний край доски при недеформированной пружине. Тогда, учитывая, что силы трения между доской и бруском согласно третьему закону Ньютона равны по величине и противоположны по направлению, уравнения движения бруска и доски в проекции на ось ОХ согласно второму закону Ньютона можно представить в виде:
$m \ddot{x} = mg \sin \alpha + F_{трx}, M \ddot{x} = Mg \sin \alpha - F_{трx} - kx$,
где $g$ - величина ускорения свободного падения, а $F_{трx}$ - проекция на ось ОХ силы трения покоя, действующей на брусок со стороны доски. Из второго уравнения следует, что пока на доску не положили брусок, координата ее нижнего края в положении равновесия ($\ddot{x} = 0$) должна была быть равна $x_{0} = (Mg \sin \alpha)/k$. Складывая почленно приведенные уравнения, получим $(M + m) \ddot{x} = (M + m) g \sin \alpha - kx$. Следовательно, после того, как на доску положили брусок, координата нижнего края доски в новом равновесном положении станет равной $x_{1} = [(M + m)g \sin \alpha]/k$, а уравнение движения доски с бруском можно представить в виде $(M + m) \ddot{x} = - k(x - x_{1})$. Из этого уравнения следует, что ускорение движущихся тел пропорционально их смещению от положения равновесия и направлено к этому положению. Следовательно, после отпускания бруска доска вместе с ним будет совершать гармонические колебания вдоль оси ОХ с частотой $\omega = \sqrt{k / (M + m)}$ и амплитудой $|x_{max}| = x_{1} - x_{0} = (mg \sin \alpha )/k$. Поскольку проекция на ось ОХ действующей на брусок силы тяжести положительна, а его ускорение в крайнем нижнем положении направлено вверх вдоль оси ОХ и максимально по величине, то согласно уравнению движения именно в этом положении величина силы сухого трения покоя должна стать максимальной и равной $F_{тр}^{ max} = ( g \sin \alpha + | \ddot{x}_{max} | ) m = [(M + 2m)mg \sin \alpha] / (M+m)$, т.к. амплитуда ускорения в $\omega^{2}$ раз превышает амплитуду смещения и равна $| \ddot{x}_{max} | = kx_{max} /(M + m)$. С другой стороны, согласно закону Кулона максимальная величина силы сухого трения покоя равна произведению коэффициента трения на величину нормальной составляющей силы реакции опоры, т.е. $F_{тр}^{max} = \mu mg \cos \alpha$. Поэтому искомый коэффициент трения должен удовлетворять неравенству:
$\mu \geq \frac{2m + M}{m+M} tg \alpha$.
