Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 4283
2017-10-14 
На прикрепленную нижним концом к столу стоящую вертикально невесомую пружину положили легкую чашку, а в нее насыпали песок. Масса чашки с песком равна $M$. После удара чашка начала совершать вертикальные гармонические колебания с амплитудой $A$ и периодом $T$. Сколько песка нужно резко сбросить, когда чашка находится на максимальной высоте, чтобы ее колебания прекратились?
Решение:
По условию задачи чашка с песком после удара совершает вертикальные гармонические колебания. Такое движение, очевидно, возможно лишь при соблюдении следующих условий. Во-первых, на движущиеся части этой системы не действуют диссипативные силы, т.е. не действуют силы сопротивления со стороны окружающей среды, а силы деформации пружины являются полностью упругими. Во-вторых, результирующая действующих на чашку с песком сил тяжести и сил, обусловленных деформацией пружины, направлена вертикально и совпадает с осью пружины. Наконец, песок остается неподвижным относительно чашки, движущейся поступательно. Поэтому, если считать, что между отдельными песчинками и чашкой отсутствуют силы притяжения - песок свободно лежит на чашке - максимальное ускорение песчинок, направленное вниз, не может превышать ускорения свободного падения $g$. Вспоминая, что при прямолинейных гармонических колебаниях с частотой $\omega$ амплитуда ускорения в $\omega^{2}$ раз превышает амплитуду смещения, можно утверждать, что задача будет иметь решение, если $4 \pi^{2} A /T^{2} < g$, т.к. $ \omega = 2 \pi /T$.
Будем, как обычно, считать лабораторную систему отсчета, в которой покоится стол, инерциальной. Тогда можно утверждать, что перед ударом в положении равновесия величина деформации пружины $\Delta L$, масса чашки с песком $M$ и жесткость пружины $k$ должны удовлетворять условию: $Mg = k \Delta L$. Поскольку при максимальном смещении чашки с песком вверх величина деформации пружины станет равной $\Delta L - A$, то чашка останется в этом положении, если с нее резко сбросить такую массу песка $m$, что $(M - m)g = ( \Delta L - A) k$, т.е. искомая масса песка должна быть равна $m = Ak/g$. Определить жесткость пружины можно, воспользовавшись законом сохранения механической энергии. Действительно, систему «чашка с песком - пружина - Земля» при сделанных выше предположениях можно считать изолированной консервативной. Поэтому приращение потенциальной энергии этой системы при подъеме чашки из положения равновесия на максимальную высоту должно быть равно кинетической энергии чашки в положении равновесия, т.е. $MgA + ( \Delta L - A)^{2} k/2 - ( \Delta L)^{2} k/2 = M v_{0}^{2}/ 2$ или $kA^{2} /2 = Mv_{0}^{2} /2$. Учитывая, что при заданном движении амплитуда скорости в $\omega$ раз превышает амплитуду смещения, т.е. $v_{0} = \omega A = 2 \pi A/T$, получим $k = 4 \pi^{2} M/T^{2}$. Следовательно, массу чашки с песком необходимо уменьшить на величину
$m = \frac{4 \pi^{2} AM}{gT^{2}}$.
Поскольку, как было выяснено выше, решение задачи возможно при выполнении неравенства $4 \pi^{2} A/T^{2} < g$, найденная масса $m$ меньше первоначальной массы $M$ чашки с песком, а т.к. чашка легкая, то полученное выражение является ответом на вопрос задачи.
На прикрепленную нижним концом к столу стоящую вертикально невесомую пружину положили легкую чашку, а в нее насыпали песок. Масса чашки с песком равна $M$. После удара чашка начала совершать вертикальные гармонические колебания с амплитудой $A$ и периодом $T$. Сколько песка нужно резко сбросить, когда чашка находится на максимальной высоте, чтобы ее колебания прекратились?
Решение:
По условию задачи чашка с песком после удара совершает вертикальные гармонические колебания. Такое движение, очевидно, возможно лишь при соблюдении следующих условий. Во-первых, на движущиеся части этой системы не действуют диссипативные силы, т.е. не действуют силы сопротивления со стороны окружающей среды, а силы деформации пружины являются полностью упругими. Во-вторых, результирующая действующих на чашку с песком сил тяжести и сил, обусловленных деформацией пружины, направлена вертикально и совпадает с осью пружины. Наконец, песок остается неподвижным относительно чашки, движущейся поступательно. Поэтому, если считать, что между отдельными песчинками и чашкой отсутствуют силы притяжения - песок свободно лежит на чашке - максимальное ускорение песчинок, направленное вниз, не может превышать ускорения свободного падения $g$. Вспоминая, что при прямолинейных гармонических колебаниях с частотой $\omega$ амплитуда ускорения в $\omega^{2}$ раз превышает амплитуду смещения, можно утверждать, что задача будет иметь решение, если $4 \pi^{2} A /T^{2} < g$, т.к. $ \omega = 2 \pi /T$.
Будем, как обычно, считать лабораторную систему отсчета, в которой покоится стол, инерциальной. Тогда можно утверждать, что перед ударом в положении равновесия величина деформации пружины $\Delta L$, масса чашки с песком $M$ и жесткость пружины $k$ должны удовлетворять условию: $Mg = k \Delta L$. Поскольку при максимальном смещении чашки с песком вверх величина деформации пружины станет равной $\Delta L - A$, то чашка останется в этом положении, если с нее резко сбросить такую массу песка $m$, что $(M - m)g = ( \Delta L - A) k$, т.е. искомая масса песка должна быть равна $m = Ak/g$. Определить жесткость пружины можно, воспользовавшись законом сохранения механической энергии. Действительно, систему «чашка с песком - пружина - Земля» при сделанных выше предположениях можно считать изолированной консервативной. Поэтому приращение потенциальной энергии этой системы при подъеме чашки из положения равновесия на максимальную высоту должно быть равно кинетической энергии чашки в положении равновесия, т.е. $MgA + ( \Delta L - A)^{2} k/2 - ( \Delta L)^{2} k/2 = M v_{0}^{2}/ 2$ или $kA^{2} /2 = Mv_{0}^{2} /2$. Учитывая, что при заданном движении амплитуда скорости в $\omega$ раз превышает амплитуду смещения, т.е. $v_{0} = \omega A = 2 \pi A/T$, получим $k = 4 \pi^{2} M/T^{2}$. Следовательно, массу чашки с песком необходимо уменьшить на величину
$m = \frac{4 \pi^{2} AM}{gT^{2}}$.
Поскольку, как было выяснено выше, решение задачи возможно при выполнении неравенства $4 \pi^{2} A/T^{2} < g$, найденная масса $m$ меньше первоначальной массы $M$ чашки с песком, а т.к. чашка легкая, то полученное выражение является ответом на вопрос задачи.
