Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 4281
2017-10-14 
В цилиндрическом сосуде с внутренним радиусом $R$, частично заполненном водой, плавает, выступая из воды на высоту $h$, однородное деревянное кольцо с плотностью $\rho_{д}$ (см. рис.). Радиус отверстия в кольце равен $r$. В отверстие медленно налили столько масла с плотностью $\rho_{м}$, что его верхний уровень достиг верха кольца. В результате уровень воды вне кольца поднялся на некоторую высоту $x$. Найти $x$.
Решение:
При решении задачи будем, поскольку иное не оговорено в условии, полагать сосуд с плавающим в нем кольцом и водой покоящимися относительно лабораторной системы отсчета, которую, в свою очередь, будем считать инерциальной. Поскольку по условию задачи кольцо является однородным, все нижние точки кольца должны располагаться на одной горизонтальной плоскости, а давление воды в любой нижней точке кольца должно быть равно $p_{в} + \rho_{в}g(H - h)$, где $p_{a}$ - атмосферное давление, $g$ -ускорение свободного падения, а $H$ - высота кольца. С другой стороны, это давление должно быть равно давлению, обусловленному действием сил тяжести и воздуха на кольцо, т.е. должно выполняться соотношение: $p_{a} + \rho_{в}g( H - h ) = p_{a} + \rho_{д} gH$. Следовательно, можно утверждать, что
$\rho_{в}(H - h) = \rho_{д}H$. (1)
По условию задачи в отверстие в кольце налили столько масла, что его уровень достиг верха кольца. Такая ситуация возможна лишь в том случае, если плотность масла не превышает плотности дерева, поскольку давление во всех точках горизонтальной плоскости, совпадающей с нижними точками кольца, согласно закону сообщающихся сосудов должно быть неизменным. Учитывая, что масло заливали медленно, можно утверждать, что даже если масло имеет максимально допустимую плотность, равную плотности дерева, нижний уровень масла не может опуститься ниже указанной плоскости. Если же плотность масла меньше плотности дерева, то из отверстия в кольце масло вытеснит лишь часть воды. Толщина $h_{1}$ слоя воды, оставшейся внутри кольца, при $\rho_{м} < \rho_{д}$ должна удовлетворять уравнению
$\rho_{в}(H - h) = \rho_{в} h_{1} + \rho_{м} (H - h_{1})$. (2)
При заливании масла глубина погружения кольца в воду изменяться не может, поскольку масло не может вытекать из кольца, а потому должно оставаться справедливым соотношение (1). Из сказанного ясно, что одновременно с увеличением объема залитого в кольцо масла уровень воды в сосуде и кольцо будут подниматься. Поскольку в условии задачи высота сосуда не указана, ее следует считать столь большой, что вода не выливается через края сосуда. Поэтому, пренебрегая, как это обычно и делается в подобных задачах, сжимаемостью воды и масла, можно утверждать, что искомая высота х подъема воды должна удовлетворять уравнению
$xR^{2} = (H - h - h_{1})r^{2}$. (3)
Решая совместно уравнения (1) - (3), определим искомую высоту подъема воды:
$x = \frac{hr^{2} \rho_{м}}{( \rho_{в} - \rho_{м})R^{2}}$.
В цилиндрическом сосуде с внутренним радиусом $R$, частично заполненном водой, плавает, выступая из воды на высоту $h$, однородное деревянное кольцо с плотностью $\rho_{д}$ (см. рис.). Радиус отверстия в кольце равен $r$. В отверстие медленно налили столько масла с плотностью $\rho_{м}$, что его верхний уровень достиг верха кольца. В результате уровень воды вне кольца поднялся на некоторую высоту $x$. Найти $x$.
Решение:
При решении задачи будем, поскольку иное не оговорено в условии, полагать сосуд с плавающим в нем кольцом и водой покоящимися относительно лабораторной системы отсчета, которую, в свою очередь, будем считать инерциальной. Поскольку по условию задачи кольцо является однородным, все нижние точки кольца должны располагаться на одной горизонтальной плоскости, а давление воды в любой нижней точке кольца должно быть равно $p_{в} + \rho_{в}g(H - h)$, где $p_{a}$ - атмосферное давление, $g$ -ускорение свободного падения, а $H$ - высота кольца. С другой стороны, это давление должно быть равно давлению, обусловленному действием сил тяжести и воздуха на кольцо, т.е. должно выполняться соотношение: $p_{a} + \rho_{в}g( H - h ) = p_{a} + \rho_{д} gH$. Следовательно, можно утверждать, что
$\rho_{в}(H - h) = \rho_{д}H$. (1)
По условию задачи в отверстие в кольце налили столько масла, что его уровень достиг верха кольца. Такая ситуация возможна лишь в том случае, если плотность масла не превышает плотности дерева, поскольку давление во всех точках горизонтальной плоскости, совпадающей с нижними точками кольца, согласно закону сообщающихся сосудов должно быть неизменным. Учитывая, что масло заливали медленно, можно утверждать, что даже если масло имеет максимально допустимую плотность, равную плотности дерева, нижний уровень масла не может опуститься ниже указанной плоскости. Если же плотность масла меньше плотности дерева, то из отверстия в кольце масло вытеснит лишь часть воды. Толщина $h_{1}$ слоя воды, оставшейся внутри кольца, при $\rho_{м} < \rho_{д}$ должна удовлетворять уравнению
$\rho_{в}(H - h) = \rho_{в} h_{1} + \rho_{м} (H - h_{1})$. (2)
При заливании масла глубина погружения кольца в воду изменяться не может, поскольку масло не может вытекать из кольца, а потому должно оставаться справедливым соотношение (1). Из сказанного ясно, что одновременно с увеличением объема залитого в кольцо масла уровень воды в сосуде и кольцо будут подниматься. Поскольку в условии задачи высота сосуда не указана, ее следует считать столь большой, что вода не выливается через края сосуда. Поэтому, пренебрегая, как это обычно и делается в подобных задачах, сжимаемостью воды и масла, можно утверждать, что искомая высота х подъема воды должна удовлетворять уравнению
$xR^{2} = (H - h - h_{1})r^{2}$. (3)
Решая совместно уравнения (1) - (3), определим искомую высоту подъема воды:
$x = \frac{hr^{2} \rho_{м}}{( \rho_{в} - \rho_{м})R^{2}}$.
