Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 4280
2017-10-14 
На тонкостенный обод заторможенного велосипедного колеса, ось которого расположена горизонтально и закреплена, намотана тонкая нерастяжимая нить. Один конец нити прикреплен к ободу, а на другом конце висит груз массой $m$. Радиус колеса равен $R$, масса обода равна $M$. Пренебрегая трением, массой спиц, втулки и нити, найти величину ускорения А точек обода колеса через промежуток времени $\tau$ после отпускания колеса, если в течение этого времени груз двигался поступательно.
Решение:
Как и обычно, будем считать лабораторную систему отсчета, в которой ось обода неподвижна, инерциальной. По условию задачи обод следует считать недеформируемым и вращающимся вокруг своей геометрической оси, а нить нерастяжимой. Поэтому можно утверждать, что в тот момент времени $t$, когда скорость груза становится равной $v(t)$, точно такую же по величине линейную скорость должна иметь и любая точка тонкого обода. Следовательно, пренебрегая в соответствии с условием задачи массой нити, спиц и втулки, можно считать, что в указанный момент времени кинетическая энергия системы «колесо - нить - груз - Земля» должна стать равной $W_{к}(t) = (M + m)v^{2}/2$. При этом мы считаем, что кинетическая энергия Земли при опускании груза остается неизменной. Последнее утверждение может показаться неверным. Действительно, если пренебречь влиянием на рассматриваемые тела других тел, то указанную систему следует считать изолированной. Следовательно, поскольку импульс вращающегося вокруг неподвижной оси однородного твердого обода равен нулю, и импульс нити следует считать равным нулю (по условию задачи масса нити равна нулю), то на основании закона сохранения импульса нужно считать, что приращения импульсов груза и Земли по отношению к инерциальной системе отсчета должны быть одинаковыми по величине. Однако, учитывая, что масса Земли во много раз больше массы груза, изменением скорости Земли по отношению к инерциальной системе отсчета, обусловленным движением груза, следует пренебречь. Поэтому следует пренебречь не только изменением кинетической энергии Земли, но и ее ускорением, обусловленным движением груза, т.е. действительно можно считать лабораторную систему инерциальной.
По условию указанную систему тел следует считать и консервативной. Поэтому на основании закона сохранения механической энергии можно утверждать, что приобретенная системой к моменту времени $t$ кинетическая энергия равна убыли потенциальной энергии этой системы, обусловленной опусканием груза на высоту $h$. Очевидно, возможные перемещения груза малы по сравнению с радиусом Земли, а потому действующую на груз силу тяжести $m \vec{g}$, где $\vec{g}$ - ускорение свободного падения, необходимо считать постоянной. Тогда из сказанного следует, что в любой допустимый по условию задачи момент времени $t$ должно выполняться соотношение:
$0,5(M + m)v^{2}(t) = mgh(t)$.
Поскольку на груз со стороны Земли действует не зависящая от положения груза сила тяжести, и согласно сказанному выше величина тангенциальной составляющей ускорения точек обода $a_{ \tau}$ и величина ускорения груза $a$ должны быть равны, можно считать, что в любой момент времени $t$ ускорение груза остается неизменным. Поэтому можно утверждать, что
$v(t) = at$ и $h(t) = 0,5at^{2}$.
Подставляя эти соотношения в предыдущее уравнение, получим:
$a = \frac{mg}{M + m}$.
Учитывая, наконец, что нормальная составляющая ускорения точки, движущейся по окружности радиусом $R$ со скоростью $v$ равна $a_{n} = v^{2}/R$ и направлена перпендикулярно тангенциальной составляющей ее ускорения, определим искомое ускорение точек обода колеса в заданный момент времени $t = \tau$:
$A = \sqrt{a_{n}^{2} + a_{ \tau}^{2}} = \frac{mg \sqrt{ R^{2} + [mg \tau^{2} (M + m)]^{2}}}{(M + m)R}$.
На тонкостенный обод заторможенного велосипедного колеса, ось которого расположена горизонтально и закреплена, намотана тонкая нерастяжимая нить. Один конец нити прикреплен к ободу, а на другом конце висит груз массой $m$. Радиус колеса равен $R$, масса обода равна $M$. Пренебрегая трением, массой спиц, втулки и нити, найти величину ускорения А точек обода колеса через промежуток времени $\tau$ после отпускания колеса, если в течение этого времени груз двигался поступательно.
Решение:
Как и обычно, будем считать лабораторную систему отсчета, в которой ось обода неподвижна, инерциальной. По условию задачи обод следует считать недеформируемым и вращающимся вокруг своей геометрической оси, а нить нерастяжимой. Поэтому можно утверждать, что в тот момент времени $t$, когда скорость груза становится равной $v(t)$, точно такую же по величине линейную скорость должна иметь и любая точка тонкого обода. Следовательно, пренебрегая в соответствии с условием задачи массой нити, спиц и втулки, можно считать, что в указанный момент времени кинетическая энергия системы «колесо - нить - груз - Земля» должна стать равной $W_{к}(t) = (M + m)v^{2}/2$. При этом мы считаем, что кинетическая энергия Земли при опускании груза остается неизменной. Последнее утверждение может показаться неверным. Действительно, если пренебречь влиянием на рассматриваемые тела других тел, то указанную систему следует считать изолированной. Следовательно, поскольку импульс вращающегося вокруг неподвижной оси однородного твердого обода равен нулю, и импульс нити следует считать равным нулю (по условию задачи масса нити равна нулю), то на основании закона сохранения импульса нужно считать, что приращения импульсов груза и Земли по отношению к инерциальной системе отсчета должны быть одинаковыми по величине. Однако, учитывая, что масса Земли во много раз больше массы груза, изменением скорости Земли по отношению к инерциальной системе отсчета, обусловленным движением груза, следует пренебречь. Поэтому следует пренебречь не только изменением кинетической энергии Земли, но и ее ускорением, обусловленным движением груза, т.е. действительно можно считать лабораторную систему инерциальной.
По условию указанную систему тел следует считать и консервативной. Поэтому на основании закона сохранения механической энергии можно утверждать, что приобретенная системой к моменту времени $t$ кинетическая энергия равна убыли потенциальной энергии этой системы, обусловленной опусканием груза на высоту $h$. Очевидно, возможные перемещения груза малы по сравнению с радиусом Земли, а потому действующую на груз силу тяжести $m \vec{g}$, где $\vec{g}$ - ускорение свободного падения, необходимо считать постоянной. Тогда из сказанного следует, что в любой допустимый по условию задачи момент времени $t$ должно выполняться соотношение:
$0,5(M + m)v^{2}(t) = mgh(t)$.
Поскольку на груз со стороны Земли действует не зависящая от положения груза сила тяжести, и согласно сказанному выше величина тангенциальной составляющей ускорения точек обода $a_{ \tau}$ и величина ускорения груза $a$ должны быть равны, можно считать, что в любой момент времени $t$ ускорение груза остается неизменным. Поэтому можно утверждать, что
$v(t) = at$ и $h(t) = 0,5at^{2}$.
Подставляя эти соотношения в предыдущее уравнение, получим:
$a = \frac{mg}{M + m}$.
Учитывая, наконец, что нормальная составляющая ускорения точки, движущейся по окружности радиусом $R$ со скоростью $v$ равна $a_{n} = v^{2}/R$ и направлена перпендикулярно тангенциальной составляющей ее ускорения, определим искомое ускорение точек обода колеса в заданный момент времени $t = \tau$:
$A = \sqrt{a_{n}^{2} + a_{ \tau}^{2}} = \frac{mg \sqrt{ R^{2} + [mg \tau^{2} (M + m)]^{2}}}{(M + m)R}$.
