2014-06-01
Найти давление в центре каждой планеты радиуса $R$, если жидкость несжимаема и имеет плотность $\rho$. Объем шара радиуса $R$ вычисляется по формуле $V=\frac{4}{3} \pi R^{}3$.
Решение:
Разобьем объем планеты на тонкие сферические слои толщиной $\Delta r$. Легко показать, что равнодействующая гравитационных сил, действующих со стороны слоя на частицу внутри этого слоя, равна нулю. Действительно, рассмотрим для этого конус с малым углом при вершине, в которую помещена частица массой $m$. Конус вырезает из слоя участки площадями $S_{1}$, и $S_{2}$ (рис.). Если масса вещества, приходящегося на единицу поверхности слоя, равна $\mu$, то гравитационные силы, действующие на массу $m$ со стороны участков $S_{1}$, и $S_{2}$, равны:
$F_{1}=G \frac{m \mu S_{1}}{r^{2}_{1}}, F_{2}=G \frac{m \mu S_{2}}{r^{2}_{2}}$;
но
$\frac{S_{1}}{r^{2}_{1}} \cos \alpha_{1} = \frac{S_{2}}{r^{2}_{2}} \cos \alpha_{2} = \Omega$,
где $\Omega$ - телесный угол при вершине О конуса. По построению $OM_{1}=OA_{1}$ и $OM_{2}=OA_{2}$. Поэтому
$ \hat{OA_{1}M_{1}}=\hat{OA_{2}M_{2}}$.
Кроме того,
$\hat{OA_{1}B_{1}}=\hat{OA_{2}B_{2}}$
как угли, опирающиеся на одну и ту же дугу. Так как
$\alpha_{1} = \hat{OA_{1}B_{1}} - \hat{OA_{1}M_{1}}$
и
$\alpha_{2}= \hat{OA_{2}B_{2}} - \hat{OA_{2}M_{2}}$,
то $\alpha_{1}=\alpha_{2}$ и, следовательно,
$\frac{S_{1}}{r^{2}_{1}} = \frac{S_{2}}{r^{2}_{2}}$.
Благодаря этому - $F_{1}=F_{2}$, и эти силы взаимно уравновешивают друг друга. Проведя аналогичное рассмотрение для других участков слоя, мы и докажем сделанное утверждение.
Сила, с которой притягивается элемент слоя объема $\Delta S \cdot \Delta r$ к центру планеты, равна
$F = \frac{\frac{4}{3} \pi r^{3} \rho \Delta S \Delta r \rho}{r^{2}}$,
где $r$ - расстояние от этого элемента до центра планеты. Отсюда найдем, что увеличение давления на участке толщиной $\Delta r$ равно
$\Delta p = \frac{F}{\Delta S} = \frac{4}{3} \pi G \rho^{2} r \Delta r$.
Поэтому давление на расстоянии $r_{0}$ от центра планеты будет равно
$p= p_{0} + \frac{4}{3} \pi G \rho^{2} \Sigma r \Delta r$.
Так как сумма $\Sigma r \cdot \Delta r$ равна площади фигуры, ограниченной графиком
$y=r$ и осью $r$ (рис.), то
$\sum r \Delta r = \frac{(R+r_{0})(R-r_{0})}{2} = \frac{R^{2}-r^{2}_{0}}{2}$.
Поэтому
$p = p_{0} + \frac{2}{3} \pi G \rho^{2} (R^{2}-r^{2}_{0})$.
Приняв давление $p_{0}$ на поверности планеты равным нулю, получаем:
$p= \frac{2}{3} \pi G \rho^{2} (R^{2}-r^{2}_{0})$.
В центре планеты $(r_{0} = 0)$ давление равно
$p = \frac{2}{3} \pi G \rho^{2}R^{2}$.
Принимая среднюю плотность земных пород равной $1,7 \times 10^{3} кг/м^{3}$ и радиус Земли $R_{3} = 6,4 \cdot 10^{6} м$, получим для давления в центре Земли: $p \approx 1,6 \cdot 10^{9} Н/м^{2}$.